CF575B Bribes

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洛谷：CF575B Bribes

Codeforces：CF575B Bribes

Solution

对 “有效边” 统计被反向经过的数量然后等比数列求和。

考虑一条路径 \(s \to t\) 对 "有效边 \(u \to v\) 是否有贡献。

• \(u \to v\) 自叶向根：\(s\) 不在 \(u\) 子树内，\(t\) 在 \(u\) 子树内。
• \(u \to v\) 自根向叶：\(s\) 在 \(u\) 子树内，\(t\) 不在 \(u\) 子树内。

判断在不在子树内可以用 dfs 序。

对每一条 “有效边”，都需要求出给定序列中满足条件的 \((s, t)\) 的数量。

考虑枚举 “有效边”，此时子树区间固定。

考虑将给定序列分成若干有向线段（线段端点位置是 dfs 序）。

具体地：若 \(dfn_{u} < dfn_v\)，自根向叶；否则自叶向根。

把正序线段称作一类线段，逆序线段称作二类线段，分别计算。

分类讨论哪些线段会对当前询问产生贡献：

• 自叶向根：询问区间为 \(u\) 子树对应的区间，
  • 对于一类线段：左端点在区间左侧，右端点在区间内。
  • 对于二类线段：左端点在区间内，右端点在区间右侧。
• 自根向叶：询问区间为 \(v\) 子树对应的区间，
  • 对于一类线段：左端点在区间内，右端点在区间右侧。
  • 对于二类线段：左端点在区间左侧，右端点在区间内。

需要预处理：

• 以点 \(x\) 为左端点向右延伸的线段数量 \(lc_x\)
• 以点 \(x\) 为右端点向左延伸的线段数量 \(rc_x\)
• 对上面两个量求前缀和数组 \(lsum_x, rsum_x\)

左端点在区间左侧，右端点在区间内的线段数量可以转为 \(rsum_{r} - rsum_{l - 1} - cnt\)。其中 \(l, r\) 是区间端点，\(cnt\) 是完全被包含在区间内的线段数量，而 \(cnt\) 可以用二维数点求出来。

瓶颈在求 \(cnt\)，单 \(\log\)。

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