2023.02.20琐记

2023.02.20琐记

希望有一天

可以登上学校的天文台

那个传说中的

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感性与理性

抽象与具象

这个世界

真是自相矛盾

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2023.02.20（1）

T1

求长度为 \(n\)，值域为 \([1, M]\) 的最长上升子序列长度为 \(3\) 的整数列的数量。

发现 \(M \le 10\)，考虑直接枚举这样的三元组 \((a, b, c), a < b < c\)。

但是会计重...

发现 \(n\le 1000\)，不妨直接 dp。

记 \(f_{i, j, k}\) 表示考虑前 \(i\) 位，第 \(i\) 位为 \(j\)，最长上升子序列长度为 \(k\) 的方案数。

然后枚举一下 \(f_{i}\) 从 \(f_x(x < i)\) 转移过来。

\[f_{i, j, k} \leftarrow f_{x, w, k}, w \ge j \\ f_{i, j, k} \leftarrow f_{x, w, k - 1}, w < j \]

边界 \(f_{0, 0, 0} = 1\)。

复杂度 \(O(n^2m^2)\)，应该比较合理。

但还是会计重。

还是来想一下 \(3\) 的条件吧，毕竟如果可以用上面的方法做，最长上升子序列长度可以开更大。

考虑三段式分法，让三段内的数不会单增，并让三段的开头单增。

枚举两个断点，枚举三个区间开头的数（实际只有 \(120\) 种组合方法）。

因此可以在 \(10^8\) 左右过掉。

具体地，已知区间长度 \(l\)，最大值 \(x\)，求方案数。

这个可能还是要用 dp 来做吧...

记 \(f_{i, j}\) 表示考虑前 \(i\) 位，当前填 \(j\) 的非单减序列的方案数。

\[f_{i, j} \leftarrow f_{i - 1, k}, k \le j \]

嗯，就这样。？md数漏了。

T3

很具体数学。

求：

\[\sum\limits_{a_1 + a_2 + a_3 = w}\binom{x + 2a_1}{a_1}\binom{y + 2a_2}{a_2}\binom{z + 2a_3}{a_3}\binom{n}{x + 2a_1}\binom{n - x - 2a_1}{y + 2a_2} \]

2023.02.20（2）

T3

先把长度确定下来再填。

感觉直接贪心应该可以？先试一试。