# P3251 [JLOI2012]时间流逝

P3251 [JLOI2012]时间流逝

洛谷：P3251 [JLOI2012]时间流逝

Solution

设当前能量圈的集合为 \(S\)，且当前期望值为 \(f(S)\)。用期望的定义直接表示：

\[f(S) = 1 + pf(P) + \frac{1 - p}{|\operatorname{suc}S|}\sum\limits_{V\in \operatorname{suc}S}f(V) \]

注意 \(S\) 的前驱状态 \(P\) 是唯一的。分析 \(S\) 及其前驱后继，发现这个转移结构很像一棵树，且当前式子表现出来是 \(f(S)\) 同时受父节点 \(P\) 与众子节点的影响。

我们希望它能只受父节点的影响，这样就可以实现从上至下一对一转移。

假设 \(f(S) = k_Sf(P) + b_{S}\)。其中 \(k_S,b_S\) 是对每个 \(S\) 唯一的常数。

记 \(t = \frac{1 - p}{|\operatorname{suc}S|}\)。

\[f(S) = 1 + pf(P) + t\sum\limits_{V \in \operatorname{suc}S}(k_Vf(S) + b_V) \]

记 \(\sigma_{k}(S) = \sum\limits_{V \in \operatorname{suc}S}k_V, \sigma_{b}(S) = \sum\limits_{V \in \operatorname{suc}S}b_V\)。则

\[\begin{aligned} f(S) &= 1 + pf(P) + t\sigma_{k}(S)f(S) + t\sigma_{b}(S) \\ (1 - \sigma_{k}(S))f(S) &= pf(P) + 1 + t\sigma_{b}(S) \\ f(S) &= \frac{p}{1 - t\sigma_{k}(S)}f(P) + \frac{1 + t\sigma_{b}(S)}{1 - t\sigma_{k}(S)} \end{aligned} \]

dfs 的时候从大往小取，返回 pair 类型，答案即为根的时候的 \(b_S\)。

#include<bits/stdc++.h>
#define DB double
#define PDD pair<DB, DB>
#define MP make_pair
using namespace std;
const int N = 55;
int n, T, a[N];
double p;
PDD dfs(int sum, int x)
{
    if(sum > T) return MP(0, 0);
    DB k = 0, b = 0, t = (1 - p) / x;
    for(int i = 1; i <= x; ++i)
    {
        PDD nxt = dfs(sum + a[i], i);
        k += nxt.first;
        b += nxt.second;
    }
    if(!sum) t = 1.0 / x;
    return MP(p / (1 - t * k), (1 + t * b) / (1 - t * k));
}
int main()
{
    while(~scanf("%lf %d %d", &p, &T, &n))
    {
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            scanf("%d", &a[i]);
        sort(a + 1, a + n + 1);
        printf("%.3lf\n", dfs(0, n).second);
    }
    return 0;
}