Burnside&Pólya

目录

• Burnside&Pólya
  • Burnside's Lemma
    • Intro
    • Burnside's Lemma
    • Examples
    • Ideas
  • Pólya Theorem
    • Intro
    • Pólya Theorem
    • Easy Example
    • 多面体的对称群
      • Problem 1
      • Problem 2
  • Pólya Theorem - Generating Function Version

Burnside&Pólya

Burnside's Lemma

Intro

Definition

对于一个置换 \(g\) 和一个染色集合 \(X\subseteq C\)，\(X\) 中满足 \(g\cdot c=c\) 的染色 \(c\) 的集合为 \(X^{g}\)。

其中这样的 \(c\) 可看作 \(g\) 作用下的不动点。

自然地想到了群论的另一个概念——稳定子群。

稳定子群是固定 \(c\)，满足 \(g\cdot c=c\) 的 \(g\in G\) 组成的 \(G\) 的子群。

Definition

对于置换群 \(G\) 和两个染色 \(c_1,c_2\)，称两个染色 本质相同 当且仅当 \(\exists g\in G\)，使得 \(g\cdot c_1=c_2\)，记作 \(c_1 \sim c_2\)。

由定义：

Corollary

\(c_1 \sim c_2\) 当且仅当下列条件之一成立：

1. \(c_2 \sim c_1\)。

2. \(\exists g\in G\)，使得 \(g\cdot c_1=c_2\)。

3. \(c_2\) 在 ”\(c_1\) 在 \(G\) 中的轨道“ 中。

4. \(c_1\) 在 \(G\) 中的轨道和 \(c_2\) 在 \(G\) 中的轨道相同。

1. \(g\cdot c_2=c_1 \iff c_2=g^{-1}\cdot c_1\)。由逆元存在性，\(g^{-1} \in G\)。因此 \(c_2\sim c_1 \iff c_1 \sim c_2\)。

2. 由定义。

3. 即 \(c_2 \in G\cdot c_1\)。则必定 \(\exists g\in G\)，使得 \(c_2=g \cdot c_1\)。由定义显然。

4. \(G\cdot c_1=G\cdot c_2=G^{'}\)，则 \(G^{'}\) 中必定既包含 \(c_1\) 又包含 \(c_2\)，因为幺元。

   然后由 "3" 的思路推。

还要提一句，这五句话互为充要条件。略。

Definition

对于置换群 \(G\) 和它 固定 的染色集合 \(X\subseteq C\)，在 \(G\) 的作用下，\(X\) 中本质不同的染色数等于 \(X\) 中所有元素在 \(G\) 中形成的不同轨道的数目，记作 \(|X/G|\)。

这个和上述第 4 条关系很紧密。

我们发现 \(c_1\sim c_2\) 当且仅当第 4 条成立时，能够引出：\(c_1\) 和 \(c_2\) 在 \(G\) 中轨道相同时 \(c_1\sim c_2\)，否则 \(c_1\not\sim c_2\)。

因此 \(X\) 中本质不同的染色数等于 \(X\) 中所有元素在 \(G\) 中形成的不同轨道的数目。

通常情况下，题目所求即为 \(|X/G|\)，即 本质不同 的染色方案数。

Burnside's Lemma

Burnside's Lemma

对于群 \(G\) 和它固定的染色集合 \(X\)，有：

\[|G||X/G|=\sum\limits_{g\in G}X^{g} \]

即在 \(G\) 的作用下，\(X\) 中元素形成不同轨道的数目，等于 \(G\) 中所有置换的不动点个数的平均值。

• Proof：

  考虑计算集合 \(\{(g,c)|g\cdot c=c,g\in G,c\in X \}\) 的大小 \(S\)。

  一方面，枚举每个置换， \(S=\sum\limits_{g\in G}|X^{g}|\)。

  另一方面，枚举染色，\(S=\sum\limits_{c\in X}|G_c|\)。

  由轨道-稳定子群定理，\(\sum\limits_{c\in X}|G_c|=\sum\limits_{c\in X}\frac{|G|}{|G\cdot c|}=|G|\sum\limits_{c\in X}\frac{1}{|G\cdot c|}\)。

  考察 \(T=\sum\limits_{c\in X}\frac{1}{|G\cdot c|}\)，其中每个染色都对 \(T\) 有 \(\frac{1}{|G\cdot c|}\) 的贡献，想想 \(G\cdot c\) 对应当前染色的轨道。

  由于我们把 \(c\in X\) 全部枚举了一遍，则每个轨道刚好对 \(T\) 贡献 \(1\)，因此 \(T\) 为不同轨道的个数，

  即 \(T=|X/G|\)。

  回代，得 \(|G||X/G|=\sum\limits_{c\in X}|G_c|=\sum\limits_{g\in G}|X^g|\)。

一般来说，\(G_c\) 是容易计算的，\(X^{g}\) 在不同情况下采用不同的技巧简化运算。

Examples

Problem

在一个长为 \(n\) 的环上染 \(m\) 种颜色，通过旋转本质相同的染色视为同一种方案，求染色方案数。

\(G=\{e,e^2,...,e^n \}\)，相当于转 \(1,2,...,n\) 次。

考虑转 \(k\) 次，\(X^g\) 即满足旋转后染色与旋转前相同的染色集，可以看成以 \(\gcd(n,k)\) 为一个循环节，每个循环的染色都相同，这样旋转后才会相同。

因此考虑对 \(\gcd(n,k)\) 个点可以进行无限制的染色，可产生方案 \(m^{\gcd(n,k)}\) 个。

总方案数为：\(\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}m^{\gcd(n,k)}\)，可以用莫反之类的做。

Ideas

• Burnside 引理通常配合裴蜀定理和莫比乌斯反演食用。

• 裴蜀定理将原环分成一段段 循环节，我们只需要分析一段即可。

  通常会根据题目限制，将这段循环节形成一个环思考，此时环上 不存在旋转等价等大的限制。

  一定要将“小环”放到“大环”上去思考。

• 循环节成环后，可能会考虑破环成链，转成序列计数问题。

Pólya Theorem

将 Burnside 引理限制群为置换群，染色为一般的染色，就能得到 Pólya 定理。

Intro

Lemma

对于置换 \(g\) 和染色 \(c\)，设 \(g\) 的循环表示是 \(g=w_1\circ w_2\circ\cdots\circ w_y\)，则 \(g\cdot c=c\) 的充要条件是：

对于 \(g\) 的每个循环 \((a_1\,\, a_2\cdots)\)，\(c\) 对 \(a_1,a_2,\cdots\) 分配的颜色是相同的。

于是，假设颜色有 \(m\) 种，且每个位置可分配的颜色集合都是相同的，

那么在 \(g\) 的作用下不变的染色数量就应该是 \(m^{\#(g)}\)。

Pólya Theorem

Pólya Theorem

对于 \(n\) 元置换群 \(G\) 和它固定的染色集合 \(X\)，如果这 \(n\) 个位置可分配的颜色集合都是相同的，一共 \(m\) 种，那么对于 \(g\in G\)，有：

\[|X^g|=m^{\#(g)} \]

由 Burnside 引理，有：

\[|X/G||G|=\sum\limits_{g\in G}m^{\#(g)} \]

Easy Example

Problem

用 \(m\) 种颜色对一个长度为 \(n\) 的项链染色，在旋转同构的条件下，共有多少种染色方法？

额貌似重复了。QWQ

再次理解一下吧QWQ

多面体的对称群

Problem 1

Problem

求五种正多面体转动群的大小，以及立方体转动群。

• 正四面体的转动群同构于 \(A_4\)。
• 正六面体（立方体）的转动群同构于 \(S_4\)。
• 正八面体的转动群同构于 \(S_4\)。
• 正十二面体的转动群同构于 \(A_5\)。
• 正二十面体的转动群同构于 \(A_5\)。

Problem 2

Problem

给一个正方体的每个面染色，共 \(m\) 种颜色，求有多少种染色方案。

正方体的转动群同构于 \(S_4\)，将这个置换群嵌入 \(6\) 个面，

鸽

Pólya Theorem - Generating Function Version

假设生成函数 \(f(t)=f_0+f_1t+f_2t^2+\cdots\)，其中 \(f_w\) 为权值为 \(w\) 的颜色数量。

定义一个置换群的 \(G\) 循环指标群中所有置换的循环指标的平均值，记作 \(Z_{G}(t_1,t_2,\cdots,t_n)\)，并定义一个染色的权值为 \(n\) 个位置所分配的颜色的权值之和。

用生成函数 \(F(t)\) 表示 \(G\) 的作用下本质不同的染色数的生成函数，其中 \([t^{w}]F(t)\) 为权值为 \(w\) 的 染色 数量。

则：

\[F(t)=Z_{G}(f(t),f(t^2),f(t^3),\cdots,f(t^n)) \]

同理，这个定理还可以推广到多元生成函数的情形中。

这里给出更详细的解释：（摘自 Dave Zhou - 组合数学--计数组合 (3)）

对 \(n\) 个对象的集合 \(A=\{1,2,\cdots,n \}\) 用 \(m\) 种颜色 \(C=\{c_1,c_2,\cdots,c_m \}\) 进行染色，\(A\) 上的置换群为 \(G=\{a_1,a_2,\cdots,a_g \}\)，任意置换 \(g\) 的类型记作 \(t_1^{\#_1(g)}t_2^{\#_2(g)}\cdots t_n^{\#_n(g)}\)，其循环个数为 \(\#(g)=\sum\limits_{i=1}^{n}\#_i\)。

\(G\) 的循环指标为 \(Z_G(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g\in G}x_1^{\#_1(g)}x_2^{\#_2(g)}\cdots x_n^{\#_n(g)}\)。

令 \(x_j=c_1^j+c_2^j+\cdots+c_m^j(j=1,2,\cdots,n)\)，可得到不同染色方案数的生成函数为：

\[Z_G(\sum\limits_{i=1}^{m}c_i,\sum\limits_{i=1}^{m}c_i^2,\cdots,\sum\limits_{i=1}^{m}c_i^n) \]

生成函数中 \(c_1^{p_1}c_2^{p_2}\cdots c_m^{p_m}\) 的系数表示把 \(A\) 的 \(p_1\) 个元素染成 \(c_1\)，\(p_2\) 个元素染成 \(c_2\)，\(\dots\)，\(p_m\) 个元素染成 \(c_m\) 的不同染色的方案数。

生成函数形式的Polya定理不仅给出了计数，也给出了具体的着色方案。

若将 \(c_i=1(i=1,2,\cdots ,m)\) 带入生成函数得到 \(Z_G(m,m,\cdots,m)\)，就是其系数和，它就是总的不同着色方案数。

我的理解：

首先我 忽略yhx巨佬的定义，看到了知乎上的这份笔记。

最开始的理解是：\(x_j\) 和 \(Z_G(\cdots)\) 是两个生成函数。

我的疑惑是：生成函数套生成函数是什么鬼？

将 \(c_i,x_i\) 当作形式变元，最后 \(x_i\) 乘起来会对应很多个 \(c_1^{p_1}c_2^{p_2}\cdots c_m^{p_m}\) 的项，而项的系数往往就是我们想要的答案。

重点解析后面这两句话。

生成函数的版本给出具体的着色方案，即我们可以根据每种颜色的个数限制，在生成函数 \(Z_G(\cdots)\) 里找到满足条件的所有项，计算它们的系数之和，这样我们就能够 在限制条件下用生成函数搭配Polya定理计算答案。

解答之前的疑惑，这个所谓的 PGF 生成函数版的 Polya 定理其实就是每种颜色对应生成函数的乘积，

本质是生成函数的乘积，我可以把它看作是广义的卷积，每种颜色的个数贡献作为次数，加起来为要染的元素总数。

而这个过程中，我们实现了 具体的着色方案。

当毫无条件限制时，\(Z_G(\cdots)\) 展开后的每一项都可以选择，为方便计算，我们考虑给形式变元赋值，取 \(c_i=1\)，这样 \(Z_G(\cdots)\) 就是答案。不难发现，这正是普通 Polya 定理的形式。

所以说，Polya 的生成函数版本，就是 Polya 定理的完整版。