P11988 [JOIST 2025] 宇宙怪盗 题解
Description
这是一道交互题。本题中，交互库可能是自适应的。
有一张 \(N\) 个点 \(M\) 条边的无向连通图。点编号 \(0\sim N-1\)，边编号 \(0\sim M-1\)，第 \(i\)（\(0 \leq i \leq M-1\)）条边双向连接点 \(U_i\) 和 \(V_i\)。
有一把钥匙藏在某一个点上，而有一个宝箱藏在另一个节点上。你需要通过至多 \(300\) 次询问确定钥匙所在的节点编号和宝箱所在的节点编号：
询问
对于 \(i=0,1,\ldots,M-1\)，将第 \(i\) 条边设置为单向通行。
- 具体地，构造长度为 \(M\) 的 \(01\) 序列 \(x_0\sim x_{M-1}\)。\(x_i=0\) 表示第 \(i\) 条边从 \(U_i\) 指向 \(V_i\)，\(x_i=1\) 表示第 \(i\) 条边从 \(V_i\) 指向 \(U_i\)。
交互库会返回，在这张图中，是否能从钥匙所在的节点到达宝箱所在的节点。
你需要用至多 \(70\) 次询问确定钥匙所在的节点 \(A\) 和宝箱所在的节点 \(B\)。
\(N\leq 10000,M\leq 15000\)。
Solution
先考虑树怎么做。注意到我们如果能够找到任何一个合法的定向方案使得 \(A\) 能到 \(B\)，那么把这棵树的拓扑序拿出来就能二分了。因为 \(A\) 此时拓扑序一定在 \(B\) 之前，二分找到最长的前缀 \([1,d]\)，让拓扑序数组上 \([1,d]\) 和 \([d+1,n]\) 之间的边反向，如果 \(A\) 还能到 \(B\) 就说明 \(A\) 在 \([d+1,n]\) 里，否则 \(A\) 在 \([1,d]\) 里。对 \(B\) 是同理的。
现在再来考虑怎么找到一组这样的定向方案。
对于菊花的情况，由于 \(A\) 和 \(B\) 至少有一个二进制位不同，所以选择一个二进制位，让这一位为 \(0\) 的边方向指向根，为 \(1\) 的方向指向叶子。再询问将这个图反向的结果，通过 \(2\log N\) 次询问一定能够得到满足条件的方案。
对于普通树，考虑通过点分治将问题变得类似菊花，即钦定 \(A\) 和 \(B\) 的路径经过当前的根 \(x\)，我们让 \(x\) 每个儿子子树内的边方向相同，就变成菊花了，然后让点分树同层的 \(x\) 并行做，总次数是 \(O(\log^2N)\)。
注意到 \(x\) 是重心，所以 \(x\) 儿子子树最大的大小不超过 \(\frac{sz_x}{2}\)，容易发现一定存在 \(x\) 儿子的一个划分方案使得每个集合内的子树大小和在 \(\left[\frac{sz_x}{3},\frac{2sz_x}{3}\right]\) 内，随便找到一个这样的划分，将这两个划分看成两个子树做上面的做法，再对这两个划分分治即可。
总次数为 \(2\log_{\frac{3}{2}}N+2\log_2N\)。
Code
#include "thief.h"
#include <bits/stdc++.h>
#ifdef ORZXKR
#include "grader.cpp"
#endif
const int kMaxN = 6e4 + 5, kMaxM = 2e4 + 5;
int n, m, rt, mxd, cnt;
int u[kMaxM], v[kMaxM], sz[kMaxN], mx[kMaxN], dep[kMaxN], real[kMaxN], now[kMaxN];
bool ont[kMaxM], del[kMaxN];
std::vector<std::pair<int, int>> G[kMaxN], T[kMaxN];
std::vector<int> eid[kMaxN];
void add(int u, int v, int id) {
T[u].emplace_back(v, id), T[v].emplace_back(u, id);
}
bool ask(std::vector<int> perm) {
static int pos[kMaxN];
std::vector<int> vec(m);
for (int i = 1; i <= n; ++i) pos[perm[i - 1]] = i;
for (int i = 1; i <= m; ++i) vec[i - 1] = (pos[u[i]] > pos[v[i]]);
return query(vec);
}
bool ask(bool *dir, bool op = 0) {
std::vector<int> vec(m);
for (int i = 1; i <= m; ++i) vec[i - 1] = dir[i] ^ op;
return query(vec);
}
struct Node {
int deg[kMaxN] = {0}, _deg[kMaxN] = {0};
std::vector<int> G[kMaxN];
void add(int u, int v) { G[u].emplace_back(v), ++_deg[v]; }
std::vector<int> getperm() {
std::queue<int> q;
std::vector<int> perm;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
deg[i] = _deg[i];
if (!deg[i])
q.emplace(i);
}
for (; !q.empty();) {
int u = q.front(); q.pop();
perm.emplace_back(u);
for (auto v : G[u]) {
if (!--deg[v]) q.emplace(v);
}
}
return perm;
}
bool query() { return ask(getperm()); }
} gr[100];
void build() {
static bool vis[kMaxN];
std::fill_n(vis + 1, n, 0);
std::function<void(int)> dfs = [&] (int u) {
vis[u] = 1;
for (auto [v, id] : G[u]) {
if (!vis[v]) {
ont[id] = 1, T[u].emplace_back(v, id), T[v].emplace_back(u, id);
dfs(v);
}
}
};
dfs(1);
}
void getsz(int u, int fa) {
sz[u] = 1, mx[u] = 0;
for (auto [v, id] : T[u]) {
if (v == fa || del[v]) continue;
getsz(v, u);
sz[u] += sz[v], mx[u] = std::max(mx[u], sz[v]);
}
}
void getrt(int u, int fa, int tot) {
mx[u] = std::max(mx[u], tot - sz[u]);
if (mx[u] < mx[rt]) rt = u;
for (auto [v, id] : T[u]) {
if (v == fa || del[v]) continue;
getrt(v, u, tot);
}
}
void dfs(int u, int fa, int rt) {
dep[u] = dep[fa] + 1;
now[real[u]] = u;
for (auto [v, id] : T[u]) {
if (v == fa || del[v]) continue;
if (id) eid[rt].emplace_back(id);
dfs(v, u, rt);
}
}
void solve(int u, int d) {
static int pid[kMaxN];
mx[rt = 0] = 1e9, getsz(u, 0), getrt(u, 0, sz[u]);
u = rt, dep[u] = 1, now[real[u]] = u;
std::vector<int> vid;
int tot = 0;
for (auto [v, id] : T[u]) {
if (del[v]) continue;
eid[v] = (id ? std::vector<int>{id} : std::vector<int>{});
pid[v] = id;
vid.emplace_back(v), dfs(v, u, v);
tot += eid[v].size();
}
std::sort(vid.begin(), vid.end(), [&] (int i, int j) { return eid[i].size() < eid[j].size(); });
if (!tot) return;
int id1 = 0, id2 = 0;
std::vector<int> e1, e2;
for (int i = 0, now = 0; i < vid.size(); ++i) {
now += eid[vid[i]].size();
if (now >= tot / 3) {
real[id1 = ++cnt] = real[u];
if (i + 1 < vid.size()) real[id2 = ++cnt] = real[u];
for (int j = 0; j <= i; ++j) {
int v = vid[j];
for (auto id : eid[v]) e1.emplace_back(id);
add(id1, vid[j], pid[vid[j]]);
}
for (int j = i + 1; j < vid.size(); ++j) {
int v = vid[j];
for (auto id : eid[v]) e2.emplace_back(id);
add(id2, vid[j], pid[vid[j]]);
}
// std::cerr << "fuckkk " << u << ' ' << tot << ' ' << now << ' ' << tot - now << '\n';
break;
}
}
for (auto id : e1) {
int x = ::u[id], y = ::v[id];
if (dep[now[x]] > dep[now[y]]) std::swap(x, y);
gr[2 * d - 1].add(x, y), gr[2 * d].add(y, x);
}
for (auto id : e2) {
int x = ::u[id], y = ::v[id];
if (dep[now[x]] > dep[now[y]]) std::swap(x, y);
gr[2 * d - 1].add(y, x), gr[2 * d].add(x, y);
}
mxd = std::max(mxd, 2 * d);
del[u] = 1;
if (tot == 1) return;
assert(id1 && id2);
// std::cerr << "shabi " << u << ' ' << cnt << ' ' << d << ' ' << sz[u] << ' ' << id1 << ' ' << id2 << '\n';
// std::cerr << e1.size() << ' ' << e2.size() << '\n';
if (id1) solve(id1, d + 1);
if (id2) solve(id2, d + 1);
}
void solve(int N, int M, std::vector<int> U, std::vector<int> V) {
n = N, m = M;
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
u[i] = U[i - 1] + 1, v[i] = V[i - 1] + 1;
G[u[i]].emplace_back(v[i], i);
G[v[i]].emplace_back(u[i], i);
}
build();
cnt = n;
for (int i = 1; i <= n; ++i) real[i] = i;
solve(1, 1);
for (int d = 1; d <= mxd; ++d) {
// std::cerr << gr[d].query() << '\n';
if (gr[d].query()) {
auto perm = gr[d].getperm();
static int pos[kMaxN];
for (int i = 1; i <= n; ++i) pos[perm[i - 1]] = i;
int a = 0, b = 0;
{
int L = 1, R = n + 1, res = 1;
while (L + 1 < R) {
int mid = (L + R) >> 1;
std::vector<int> vec(m);
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
int x = pos[u[i]], y = pos[v[i]];
if (x < mid || y < mid) vec[i - 1] = (x < y);
else vec[i - 1] = (x > y);
}
if (query(vec)) L = res = mid;
else R = mid;
}
a = perm[res - 1];
}
{
int L = 0, R = n, res = n;
while (L + 1 < R) {
int mid = (L + R) >> 1;
std::vector<int> vec(m);
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
int x = pos[u[i]], y = pos[v[i]];
if (x > mid || y > mid) vec[i - 1] = (x < y);
else vec[i - 1] = (x > y);
}
if (query(vec)) R = res = mid;
else L = mid;
}
b = perm[res - 1];
}
answer(a - 1, b - 1);
return;
}
// std::cerr << gr[i].ask() << '\n';
}
}
浙公网安备 33010602011771号