CF2066F Curse 题解
Description
给定两个整数数组 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 和 \(b_1, b_2, \ldots, b_m\)。
你需要判断是否可以通过若干次（可能为零）如下操作将数组 \(a\) 转换为数组 \(b\)。
- 在所有 \(a\) 的非空子数组\(^{\text{∗}}\)中，选择一个具有最大和的子数组，并将该子数组替换为任意非空整数数组。
如果可能，你需要构造任意可行的操作序列。约束条件：你的答案中，所有操作使用的替换数组的长度之和不得超过 \(n + m\)。所有数字的绝对值不得超过 \(10^9\)。
\(^{\text{∗}}\) 如果数组 \(a\) 可以通过从数组 \(b\) 的开头和结尾删除若干（可能为零或全部）元素得到，则称 \(a\) 是 \(b\) 的子数组。
\(n,m\leq 500\)。
Solution
首先显然如果存在两个最大子段和区间互相包含，则小的那个没有用。那么如果我们把所有极长的最大子段拿出来，这些子段互不相交。
然后每次选出长度最长的最大子段和区间，把它删掉，并对这个区间的左右两侧分别进行递归，则可以把整个数组划分成 \([l_1,r_1],[l_2,r_2],\ldots,[l_k,r_k]\)。
有个关键结论是后面每次操作的区间不能跨过现在划分出来的这 \(k\) 个区间。
假设第一步操作的是 \([l_i,r_i]\)，那么操作完的划分一定满足其余 \(k-1\) 个区间划分不变，第 \(i\) 个区间分裂为一些区间。
这是因为如果分裂出来存在一个区间 \([L,R]\) 满足 \(L<l_i\leq R<r_i\)，由于 \([L,l_i-1]\) 的和一定小于零，否则 \([l_i,r_i]\) 拓展之后一定更优，所以 \([l_i,R]\) 一定比 \([L,R]\) 和更大，根据贪心划分的原则，\([L,R]\) 就不会被划分出来，也就不会被操作。
设最小的被操作过的初始划分区间和为 \(x\)，那么和小于 \(x\) 的一定不会动，同时在操作和为 \(x\) 的区间时所有原来和大于 \(x\) 的区间一定满足当前状态下最大子段和不超过 \(x\)。
这启发我们贪心地先把和大于等于 \(x\) 的区间先变成一个 \(\{x\}\)，然后再对这些 \(\{x\}\) 一起操作，容易证明这个操作方式一定不劣。后面的操作就是这些 \(\{x\}\) 至多只能有一个操作完最大子段和大于 \(x\)，否则一定会矛盾。满足了这个条件后操作方案就一定能构造出来了。
对于可行性，考虑对上面的东西进行 dp，设 \(f_{i,j,0/1}\) 表示前 \(i\) 个区间，目前匹配到 \(b\) 的前 \(j\) 个数，最大子段和大于 \(x\) 的有 \(0/1\) 个是否可行。然后进行分讨：
-
\([l_i,r_i]\) 和小于 \(x\)：则转移是唯一的，即如果 \(a[l_i,r_i]\) 和 \(b[j+1,j+r_i-l_i+1]\) 相等，就能转移到 \(f_{i,j+r_i-l_i+1,op}\)。
-
\([l_i,r_i]\) 和大于等于 \(x\)：
- 操作后的最大子段和小于等于 \(x\)，需要满足 \(a[j+1,k]\) 的最大子段和小于等于 \(x\)，就能转移到 \(f_{i,k,op}\)。
- 操作后的最大子段和大于 \(x\)，则只需要满足 \(op=0\)，即可能转移到 \(f_{i,k,1}\)。
上面那个东西暴力转移是 \(O(n^2m^2)\) 的，优化就考虑和大于等于 \(x\) 的 \(2\) 号转移只要找到最小的 \(j\) 满足 \(f_{i-1,j,0}=1\)，然后暴力转移。\(1\) 号转移由于 \(j\) 能转移到的最大右端点随 \(j\) 增加而增加，直接维护 \(r_{op}\) 表示目前最大的 \(k\) 满足 \(f_{i,k,op}\) 转移过，这样的话每次转移就不会重复了。
时间复杂度：\(O(n^2m+nm^2)\)。
Code
#include <bits/stdc++.h>
#define int int64_t
const int kMaxN = 505;
int n, m, t;
int a[kMaxN], b[kMaxN], l[kMaxN], r[kMaxN], sum[kMaxN][kMaxN], mxs[kMaxN][kMaxN], mxs1[kMaxN][kMaxN], lcp[kMaxN][kMaxN];
std::tuple<int, int, bool> pre[kMaxN][kMaxN][2];
bool f[kMaxN][kMaxN][2];
void getseg(int l, int r) {
if (l > r) return;
int ll = 0, rr = -1;
for (int i = l; i <= r; ++i)
for (int j = i; j <= r; ++j)
if (sum[i][j] == mxs[l][r] && j - i > rr - ll)
ll = i, rr = j;
getseg(l, ll - 1);
::l[++t] = ll, ::r[t] = rr;
getseg(rr + 1, r);
}
void dickdreamer() {
std::cin >> n >> m; t = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) std::cin >> a[i];
for (int i = 1; i <= m; ++i) std::cin >> b[i];
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
int now = a[i];
sum[i][i] = mxs[i][i] = a[i];
for (int j = i + 1; j <= n; ++j) {
now = std::max(a[j], a[j] + now);
sum[i][j] = sum[i][j - 1] + a[j];
mxs[i][j] = std::max(now, mxs[i][j - 1]);
}
}
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
int now = b[i];
mxs1[i][i] = b[i];
for (int j = i + 1; j <= m; ++j) {
now = std::max(b[j], b[j] + now);
mxs1[i][j] = std::max(now, mxs1[i][j - 1]);
}
}
for (int i = 1; i <= n + 1; ++i)
for (int j = 1; j <= m + 1; ++j)
lcp[i][j] = 0;
for (int i = n; i; --i) {
for (int j = m; j; --j) {
if (a[i] == b[j]) lcp[i][j] = lcp[i + 1][j + 1] + 1;
else lcp[i][j] = 0;
}
}
getseg(1, n);
std::vector<int> vec;
for (int i = 1; i <= t; ++i) vec.emplace_back(sum[l[i]][r[i]]);
std::sort(vec.begin(), vec.end());
vec.erase(std::unique(vec.begin(), vec.end()), vec.end());
for (auto x : vec) {
for (int i = 1; i <= t; ++i)
for (int j = 1; j <= m; ++j)
f[i][j][0] = f[i][j][1] = 0;
f[0][0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= t; ++i) {
if (sum[l[i]][r[i]] < x) {
for (int j = 0; j < m; ++j) {
for (int o = 0; o < 2; ++o) {
if (!f[i - 1][j][o]) continue;
if (lcp[l[i]][j + 1] >= r[i] - l[i] + 1) {
f[i][j + r[i] - l[i] + 1][o] |= f[i - 1][j][o];
pre[i][j + r[i] - l[i] + 1][o] = {i - 1, j, o};
}
}
}
} else {
int mij = m + 1;
for (int j = m; ~j; --j)
if (f[i - 1][j][0])
mij = j;
for (int j = mij + 1; j <= m; ++j) {
f[i][j][1] = 1;
pre[i][j][1] = {i - 1, mij, 0};
}
int r[2] = {0};
for (int j = 0; j < m; ++j) {
for (int o = 0; o < 2; ++o) {
if (!f[i - 1][j][o]) continue;
for (int k = std::max(j + 1, r[o] + 1); k <= m; ++k) {
if (mxs1[j + 1][k] <= x) {
f[i][k][o] |= f[i - 1][j][o];
pre[i][k][o] = {i - 1, j, o};
r[o] = k;
} else {
break;
}
}
}
}
}
}
if (!f[t][m][0] && !f[t][m][1]) continue;
int posa = t, posb = m, op = f[t][m][1];
std::vector<std::tuple<int, int, int>> vec1, vec2;
std::vector<int> vec3;
for (; posa && posb;) {
auto [prea, preb, preop] = pre[posa][posb][op];
// std::cerr << l[posa] << ' ' << r[posa] << ' ' << preb + 1 << ' ' << posb << '\n';
if (sum[l[posa]][r[posa]] >= x) {
vec3.emplace_back(posa);
if (op ^ preop) {
vec1.emplace_back(posa, preb + 1, posb);
} else {
vec2.emplace_back(posa, preb + 1, posb);
}
}
posa = prea, posb = preb, op = preop;
}
static int len[kMaxN];
for (int i = 1; i <= t; ++i) len[i] = r[i] - l[i] + 1;
std::vector<std::tuple<int, int, std::vector<int>>> vv;
std::sort(vec3.begin(), vec3.end(), [&] (auto a, auto b) { return sum[l[a]][r[a]] > sum[l[b]][r[b]]; });
for (auto i : vec3) {
int posl = 0, posr = 0;
std::vector<int> vec = {x};
for (int j = 1; j < i; ++j) posl += len[j];
++posl, posr = posl + len[i] - 1, len[i] = 1;
vv.emplace_back(posl, posr, vec);
}
for (auto [i, l, r] : vec2) {
int posl = 0, posr = 0;
std::vector<int> vec;
for (int j = 1; j < i; ++j) posl += len[j];
++posl, posr = posl + len[i] - 1, len[i] = r - l + 1;
for (int j = l; j <= r; ++j) vec.emplace_back(b[j]);
vv.emplace_back(posl, posr, vec);
}
for (auto [i, l, r] : vec1) {
int posl = 0, posr = 0;
std::vector<int> vec;
for (int j = 1; j < i; ++j) posl += len[j];
++posl, posr = posl + len[i] - 1, len[i] = r - l + 1;
for (int j = l; j <= r; ++j) vec.emplace_back(b[j]);
vv.emplace_back(posl, posr, vec);
}
std::cout << vv.size() << '\n';
for (auto &[l, r, vec] : vv) {
std::cout << l << ' ' << r << ' ' << vec.size() << '\n';
for (auto x : vec) std::cout << x << ' ';
std::cout << '\n';
}
return;
}
std::cout << "-1\n";
}
int32_t main() {
#ifdef ORZXKR
freopen("in.txt", "r", stdin);
freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
std::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
int T = 1;
std::cin >> T;
while (T--) dickdreamer();
// std::cerr << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << "s\n";
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号