CF1534H Lost Nodes 题解
Description
这是一道交互题。
给你一棵包含 \(n\) 个节点的树。你需要猜测出这棵树上的两个特殊节点 \(a,b\)（\(a\) 不一定与 \(b\) 不同）。
首先，你会被告知一个整数 \(r\)，满足节点 \(r\) 是节点 \(a,b\) 之间的简单路径上的一点。
接下来你可以进行询问，具体的，每次给定整数 \(r\)，交互器会给你当树的根节点为 \(r\) 时，节点 \(a,b\) 的最近公共祖先是哪个节点。
特别的，在给定树的形态之后，你需要先给出在所有 \(a,b,r\) 的可能的取值中，至少需要多少次询问才能保证得出特殊节点的编号。
\(1≤n≤10^5;1≤a,b,r≤n\) 且节点 \(r\) 在节点 \(a,b\) 之间的简单路径上（包括节点 \(a,b\)）。
Solution
由于只要知道第一问的策略是什么，所以第二问和第一问差不多。
首先对于 \(u\) 的子树，且 \(u\neq r\)，如果 \(u\) 子树内所有节点的询问值都在子树内，则一定有一个特殊节点在 \(u\) 的子树内，否则一定不在。
所以可以设计状态：设 \(f_u\) 表示知道特殊节点是否在 \(u\) 的子树内，如果在 \(u\) 的子树内需要找到确切节点，否则要找到 \(u\) 子树内所有点的询问值的最小次数，\(g_u\) 表示如果特殊节点在 \(u\) 的子树内，则为特殊节点值，否则为 \(u\) 子树内所有点的询问值。
设 \(v_1,v_2,\ldots,v_t\) 是 \(u\) 的儿子，策略大概是从前往后枚举 \(v_i\)，如果按照让 \(f_{v_i}\) 最小的策略询问的第一个叶子的询问值在 \(v_i\) 子树内，那么特殊节点就在 \(v_i\) 子树内，步数就是 \(f_{v_i}\)。如果询问值不在 \(u\) 的子树内，则 \(u\) 的子树内都没有特殊节点，步数是 \(1\)。否则说明特殊节点不在 \(v_i\) 子树内，但在 \(u\) 的子树内，继续枚举 \(v_{i+1}\) 即可。
所以 \(\displaystyle f_u=\max_{i=1}^{t}{\left(f_{v_i}+i-1\right)}\)，最小化这个东西就让 \(v_i\) 按照 \(f_{v_i}\) 的值从大到小排序即可。
由于在根 \(r\) 处可能有两个子树都有特殊节点，需要特殊处理一下，并且需要分讨 \(r\) 是否是特殊节点：
- \(r\) 是特殊节点，贡献为 \(\displaystyle\max_{i=1}^{t}{\left(f_{v_i}+t-1\right)}\)。
- \(r\) 不是特殊节点，贡献为 \(\displaystyle\max_{i=1}^{t}{\max_{j=i+1}^{t}{\left(f_{v_i}+f_{v_j}+j-2\right)}}=\max_{j=2}^{t}{\left(f_{v_1}+f_{v_j}+j-2\right)}\)。
要求所有根的答案就换根即可。
时间复杂度：\(O(n\log n)\)。
Code
#include <bits/stdc++.h>
// #define int int64_t
const int kMaxN = 1e5 + 5;
int n;
int f[kMaxN], g[kMaxN], h[kMaxN], dep[kMaxN];
int buc[kMaxN];
std::vector<int> G[kMaxN];
struct SGT {
int mx[kMaxN * 4], tag[kMaxN * 4];
void pushup(int x) {
mx[x] = std::max(mx[x << 1], mx[x << 1 | 1]);
}
void addtag(int x, int v) {
mx[x] += v, tag[x] += v;
}
void pushdown(int x) {
if (tag[x]) {
addtag(x << 1, tag[x]), addtag(x << 1 | 1, tag[x]);
tag[x] = 0;
}
}
void build(int x, int l, int r) {
mx[x] = -1e9, tag[x] = 0;
if (l == r) return;
int mid = (l + r) >> 1;
build(x << 1, l, mid), build(x << 1 | 1, mid + 1, r);
}
void update(int x, int l, int r, int ql, int qr, int v) {
if (l > qr || r < ql) return;
else if (l >= ql && r <= qr) return addtag(x, v);
pushdown(x);
int mid = (l + r) >> 1;
update(x << 1, l, mid, ql, qr, v), update(x << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr, v);
pushup(x);
}
} sgt;
void ins(int x) {
if (!buc[x]++) sgt.update(1, 0, n, x, x, 1e9 + x);
sgt.update(1, 0, n, 0, x, 1);
}
void del(int x) {
if (!--buc[x]) sgt.update(1, 0, n, x, x, -1e9 - x);
sgt.update(1, 0, n, 0, x, -1);
}
int query() { return std::max(sgt.mx[1] - 1, 1); }
void dfs1(int u, int fa) {
dep[u] = dep[fa] + 1;
bool isleaf = 1;
for (auto v : G[u]) {
if (v == fa) continue;
dfs1(v, u);
}
std::sort(G[u].begin(), G[u].end(), [&] (int i, int j) { return f[i] > f[j]; });
for (auto v : G[u]) {
if (v == fa) continue;
ins(f[v]);
}
f[u] = query();
// std::cerr << u << ' ' << f[u] << '\n';
for (auto v : G[u]) {
if (v == fa) continue;
del(f[v]);
}
}
void dfs2(int u, int fa) {
if (fa) ins(g[u]);
for (auto v : G[u]) {
if (v == fa) continue;
ins(f[v]);
}
for (auto v : G[u]) {
if (v == fa) continue;
del(f[v]), g[v] = query(), ins(f[v]);
}
for (auto v : G[u]) {
if (v == fa) continue;
del(f[v]);
}
if (fa) del(g[u]);
for (auto v : G[u]) {
if (v == fa) continue;
dfs2(v, u);
}
std::vector<int> vec;
for (auto v : G[u]) {
if (v == fa) continue;
vec.emplace_back(f[v]);
}
if (fa) vec.emplace_back(g[u]);
std::sort(vec.begin(), vec.end(), std::greater<>());
for (int i = 0; i < vec.size(); ++i) {
h[u] = std::max<int>(h[u], vec[i] + vec.size() - 1);
if (i) h[u] = std::max(h[u], vec[i] + vec[0] + i - 1);
}
}
int ask(int x) {
std::cout << "? " << x << std::endl;
int v;
std::cin >> v;
return v;
}
int solve(int u, int fa) {
bool isleaf = 1;
for (auto v : G[u]) {
if (v == fa) continue;
int val = solve(v, u);
if (val != u) return val;
isleaf = 0;
}
if (isleaf) return ask(u);
else return u;
}
void dickdreamer() {
std::cin >> n;
for (int i = 1; i < n; ++i) {
int u, v;
std::cin >> u >> v;
G[u].emplace_back(v), G[v].emplace_back(u);
}
sgt.build(1, 0, n);
dfs1(1, 0), dfs2(1, 0);
std::cout << *std::max_element(h + 1, h + 1 + n) << std::endl;
int r, a = 0, b = 0;
std::cin >> r;
// std::cerr << f[4] << '\n';
dfs1(r, 0);
for (auto v : G[r]) {
int val = solve(v, r);
if (val != r) {
if (!a) a = val;
else b = val;
}
if (a && b) break;
}
if (!a) a = r;
if (!b) b = r;
std::cout << "! " << a << ' ' << b << std::endl;
}
int32_t main() {
#ifdef ORZXKR
freopen("in.txt", "r", stdin);
freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
std::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
int T = 1;
// std::cin >> T;
while (T--) dickdreamer();
// std::cerr << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << "s\n";
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号