CF1098F Ж-function 题解
Description
给出一个长度为 \(n\) 的字符串 \(s\)，定义函数 \(f(l,r)\) 为 \(s[l,r]\) 的每个后缀与 \(s[l,r]\) 的 \(\text{lcp}\) 之和。现在询问 \(q\) 次，每次给出 \(l,r\)，请输出 \(f(l,r)\)。
\(n,q\leq 2\times 10^5\)。
Solution
先将整个串翻转，题目变为求 \(s[l,r]\) 的每个前缀与 \(s[l,r]\) 的 \(\text{lcs}\) 之和。
对当前串建 SAM，即求：\(\displaystyle\sum_{i=l}^{r}{\min\{\text{len}[\text{LCA}(id_i,id_r)],i-l+1\}}\)，其中 \(id_i\) 表示 \(s\) 长度为 \(i\) 的前缀在 SAM 上对应的点。
考虑离线，并对 parent 树做重链剖分，计算 LCA 在某个重链上对答案的贡献。
先枚举重链，设 \(anc_i\) 表示 \(i\) 在这个重链上最近的祖先的 \(\text{len}\)。
那么如果 \(id_i\) 和 \(id_r\) 都在当前重链下，且属于不同的子树，则 \(\text{len}[\text{LCA}(id_i,id_r)]=\min\{anc_{id_i},anc_{id_r}\}\)。
设 \(x=anc_{id_r}\)，考虑枚举 \(anc_{id_i}\) 和 \(anc_x\) 的大小关系。
如果 \(anc_{id_i}<anc_x\)，则贡献为 \(\min\{anc_{id_i},i-l+1\}=\begin{cases}anc_{id_i}\quad &l\leq i-anc_{id_i}+1\\i-l+1\quad&l>i-anc_{id_i}+1\end{cases}\)，同时由于需要满足 \(l\leq i\leq r\) 的限制，所以按照 dfs 序加入修改和询问后这是个三维偏序，cdq 分治即可。
如果 \(anc_{id_i}\geq anc_x\)，贡献为 \(\min\{anc_{x},i-l+1\}=\begin{cases}anc_{x}\quad &l\leq i-anc_{x}+1\\i-l+1\quad&l>i-anc_{x}+1\end{cases}\)，此时和 \(i-anc_{id_i}+1\) 没有关系了，所以这部分是二维偏序，直接做。
注意需要保证修改和询问的点不在同一个重链上轻儿子的子树里，这里只需要在第一部分对于一个子树，先一起加入询问再加入修改，重链上的点特殊处理。第二部分先加入修改再加入询问。
时间复杂度：\(O(n\log^3n)\)，常数很小，可以过。
Code
#include <bits/stdc++.h>
#define int int64_t
using i64 = int64_t;
const int kMaxN = 2e5 + 5, kMaxT = kMaxN * 2;
struct Node {
int x, y, id;
} a[kMaxN * 4];
int n, q, tot, ta;
int id[kMaxN], len[kMaxT], L[kMaxN], R[kMaxN];
int p[kMaxT], sz[kMaxT], dfn[kMaxT], idx[kMaxT], wson[kMaxT];
bool vis[kMaxN];
i64 ans[kMaxN];
std::vector<int> G[kMaxT], qq[kMaxT], vec[kMaxT];
std::string str;
struct BIT {
int c[kMaxN * 2];
void upd(int x, int v) {
for (x += n + 1; x <= 2 * n + 1; x += x & -x) c[x] += v;
}
int qry(int x) {
int ret = 0;
for (x += n + 1; x; x -= x & -x) ret += c[x];
return ret;
}
int qry(int l, int r) { return l <= r ? qry(r) - qry(l - 1) : 0; }
} bit1, bit2, bit3;
struct SAM {
int tot = 1, lst = 1, fa[kMaxT], len[kMaxT];
std::array<int, 26> nxt[kMaxT];
void ins(int c) {
int p = lst, cur = ++tot;
lst = cur;
len[cur] = len[p] + 1;
for (; p && !nxt[p][c]; p = fa[p]) nxt[p][c] = cur;
int q = nxt[p][c];
if (!p) {
fa[cur] = 1;
} else if (len[q] == len[p] + 1) {
fa[cur] = q;
} else {
int r = ++tot;
len[r] = len[p] + 1, fa[r] = fa[q], nxt[r] = nxt[q];
fa[q] = fa[cur] = r;
for (; p && nxt[p][c] == q; p = fa[p]) nxt[p][c] = r;
}
}
void build() {
::tot = tot;
for (int i = 2; i <= tot; ++i) {
::len[i] = len[i];
G[fa[i]].emplace_back(i);
}
}
} sam;
void buildsam() {
for (int i = 1; i <= n; ++i) sam.ins(str[i] - 'a');
sam.build();
id[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
id[i] = sam.nxt[id[i - 1]][str[i] - 'a'];
vec[id[i]].emplace_back(i);
}
}
void dfs1(int u, int fa) {
static int cnt = 0;
p[u] = fa, idx[dfn[u] = ++cnt] = u, sz[u] = 1;
for (auto v : G[u]) {
if (v == fa) continue;
dfs1(v, u);
sz[u] += sz[v];
if (sz[v] > sz[wson[u]]) wson[u] = v;
}
}
void dfs2(int u, int fa, int anc, bool op = 0) {
if (!op) { // 添加修改
for (auto i : vec[u]) a[++ta] = {anc, i, 0};
} else { // 添加询问
for (auto i : qq[u]) a[++ta] = {anc, R[i], i};
}
for (auto v : G[u]) {
if (v == fa) continue;
dfs2(v, u, anc, op);
}
}
void prework() { dfs1(1, 0); }
void solve1(int l = 1, int r = ta) {
if (l == r) return;
int mid = (l + r) >> 1;
solve1(l, mid), solve1(mid + 1, r);
std::sort(a + l, a + 1 + mid, [&](Node a, Node b) { return a.y < b.y; });
std::sort(a + 1 + mid, a + 1 + r, [&](Node a, Node b) { return a.y < b.y; });
int p = l;
for (int i = mid + 1; i <= r; ++i) {
if (!a[i].id) continue;
for (; p <= mid && a[p].y <= a[i].y; ++p) {
if (a[p].id) continue;
bit1.upd(a[p].y - a[p].x + 1, a[p].x); // anc[id[i]]
bit2.upd(a[p].y - a[p].x + 1, a[p].y); // i
bit3.upd(a[p].y - a[p].x + 1, 1); // 1
}
int id = a[i].id;
ans[id] += bit1.qry(L[id], n) + bit2.qry(-n, L[id] - 1) -
(L[id] - 1) * bit3.qry(-n, L[id] - 1);
}
for (int i = l; i < p; ++i) {
if (a[i].id) continue;
bit1.upd(a[i].y - a[i].x + 1, -a[i].x); // anc[id[i]]
bit2.upd(a[i].y - a[i].x + 1, -a[i].y); // i
bit3.upd(a[i].y - a[i].x + 1, -1); // 1
}
// for (int i = 1; i <= ta; ++i) {
// if (a[i].id) continue;
// for (int j = i + 1; j <= ta; ++j) {
// if (!a[j].id) continue;
// int id = a[j].id;
// if (a[i].y <= a[j].y) {
// ans[id] += std::min({a[i].y - L[id] + 1, a[i].x, a[j].x});
// // std::cerr << "!!! " << a[i].y << ' ' << a[i].x << '\n';
// }
// }
// }
}
// dbba
void solve2() {
for (int i = ta; i; --i) {
if (!a[i].id) {
bit1.upd(a[i].y, a[i].y);
bit2.upd(a[i].y, 1);
} else {
int id = a[i].id;
ans[id] +=
a[i].x * bit2.qry(L[id] + a[i].x - 1, a[i].y) +
bit1.qry(1, std::min(L[id] + a[i].x - 2, a[i].y)) -
(L[id] - 1) * bit2.qry(1, std::min(L[id] + a[i].x - 2, a[i].y));
}
}
for (int i = 1; i <= ta; ++i) {
if (!a[i].id) {
bit1.upd(a[i].y, -a[i].y);
bit2.upd(a[i].y, -1);
}
}
// for (int i = 1; i <= ta; ++i) {
// if (!a[i].id) continue;
// for (int j = i + 1; j <= ta; ++j) {
// if (a[j].id) continue;
// int id = a[i].id;
// if (a[j].y <= a[i].y) {
// ans[id] += std::min(a[j].y - L[id] + 1, a[i].x);
// // std::cerr << "??? " << a[j].y << ' ' << a[i].x << '\n';
// }
// }
// }
}
void solve(int t) {
ta = 0;
for (int u = t; u; u = wson[u]) {
for (auto i : qq[u]) a[++ta] = {len[u], R[i], i};
for (auto i : vec[u]) a[++ta] = {len[u], i, 0};
for (auto v : G[u]) {
if (v == p[u] || v == wson[u]) continue;
dfs2(v, u, len[u], 1), dfs2(v, u, len[u], 0);
}
}
solve1();
ta = 0;
for (int u = t; u; u = wson[u]) {
for (auto i : qq[u]) a[++ta] = {len[u], R[i], i};
for (auto i : vec[u]) a[++ta] = {len[u], i, 0};
for (auto v : G[u]) {
if (v == p[u] || v == wson[u]) continue;
dfs2(v, u, len[u], 0), dfs2(v, u, len[u], 1);
}
}
solve2();
}
void dickdreamer() {
std::cin >> str;
std::reverse(str.begin(), str.end());
n = str.size(), str = " " + str;
buildsam(), prework();
std::cin >> q;
for (int i = 1; i <= q; ++i) {
std::cin >> L[i] >> R[i];
L[i] = n + 1 - L[i], R[i] = n + 1 - R[i];
std::swap(L[i], R[i]);
qq[id[R[i]]].emplace_back(i);
}
// std::cerr << len[id[1]] << ' ' << len[id[2]] << '\n';
for (int i = 1; i <= tot; ++i)
if (i != wson[p[i]]) solve(i);
for (int i = 1; i <= q; ++i) {
if (L[i] > 1) ans[i] += 1ll * (L[i] - 2) * (L[i] - 1) / 2;
std::cout << ans[i] << '\n';
}
}
int32_t main() {
#ifdef ORZXKR
freopen("in.txt", "r", stdin);
freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
std::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
int T = 1;
// std::cin >> T;
while (T--) dickdreamer();
// std::cerr << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << "s\n";
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号