CF1672I PermutationForces 题解
Description
给定一个长度为 \(n\) 的排列 \(p_1,p_2,\ldots,p_n\)，你可以进行如下操作若干次：
- 选择 \(1\leq i\leq |p|\) 满足 \(|i-p_i|\leq m\)；
- 对于所有 \(1\leq j\leq |p|\) 的 \(j\)，若满足 \(p_i<p_j\)，则 \(p_j\leftarrow p_j-1\)；
- 之后删去 \(p_i\)，\(p\) 后面的元素向前补位。
求最小的 \(m\) 使经过 \(n\) 次操作能将 \(p\) 删空。
\(1\leq n\leq 5\times 10^5\)。
Solution
首先会有一个想法是每次选择 \(|i-p_i|\) 最小的进行操作，这么做我们可能会担心操作顺序的影响。但是可以证明这么做就是对的。
不妨设 \(f_i=|i-p_i|\)，且 \(i<p_i\)，考虑分讨 \(j\) 和 \(p_j\) 的取值。有如下几种可能：
- \(i<j<p_j<p_i\)，\(f_j\) 变为 \(f_j+1\)。
- \(i<p_j<j<p_i\)，\(f_j\) 变为 \(f_j-1\)。
- \(j<i<p_j<p_i\)，\(f_j\) 不变。
- \(p_j<i<j<p_i\)，\(f_j\) 变为 \(f_j-1\)。
- \(j<i<p_i<p_j\)，\(f_j\) 变为 \(f_j-1\)。
- \(p_j<i<p_i<j\)，\(f_j\) 变为 \(f_j-1\)。
- \(i<j<p_i<p_j\)，\(f_j\) 不变。
- \(i<p_j<p_i<j\)，\(f_j\) 不变。
- \(i<p_i<j<p_j\)，\(f_j\) 不变。
- \(i<p_i<p_j<j\)，\(f_j\) 不变。
观察这些情况可以发现对于 \(f_j\leq f_i\) 的所有情况，操作后都不会大于 \(f_i\)。而对于 \(f_j>f_i\) 的情况，操作后 \(f_j\) 都不会变大。
所以每次贪心地选择 \(f_i\) 最小的 \(i\) 进行操作一定不劣。
暴力维护这个东西是 \(O(n\log^2n)\) 或者 \(O(n\sqrt n)\)，不太能过。
考虑优化。
容易发现在操作的过程中 \(f_j\) 的正负性一定不会改变，因为在 \(f_j=0\) 的时候才会变，但这时一定是能选择 \(f_i=0\) 的操作，所以操作完 \(j\) 和 \(a_j\) 的变化量一定相同，\(f_j\) 也就不变了。
所以我们对于 \(i\leq a_i\) 和 \(i>a_i\) 单独处理。
对于 \(i\leq a_i\) 的情况。将 \((i,a_i)\) 看成坐标系上的点，那么如果存在 \(j>i,a_j<a_i\)，即 \(f_i\) 在 \(j\) 删掉之前一定不会比 \(f_j\) 更优。所以 \(f_i\) 可能成为答案当且仅当 \((i,a_i)\) 右下方没有点。
考虑只把可能成为答案的点拿出来，那么这些点都是 \(a_i\) 的后缀最小值，且构成一个从左下到右上的递增点列。
由于这个具有单调性，所以用线段树维护这个递增的点列上每个点的答案。
每次删掉一个点后还要更新后缀最小值，容易发现每次只需要暴力在前驱和后继之间找最小值，然后递归即可。
显然每个点在加入之后不会再被删除。
时间复杂度：\(O(n\log n)\)。
Code
#include <bits/stdc++.h>
// #define int int64_t
using pii = std::pair<int, int>;
const int kMaxN = 5e5 + 5;
int n, ans;
int a[kMaxN];
std::set<int> st1, st2;
std::set<pii> st3, st4;
struct BIT {
int c[kMaxN];
void upd(int x, int v) {
for (; x <= n; x += x & -x) c[x] += v;
}
int qry(int x) {
int ret = 0;
for (; x; x -= x & -x) ret += c[x];
return ret;
}
} bit1, bit2;
struct SGT {
int N;
pii mi[kMaxN * 4];
void pushup(int x) {
mi[x] = std::min(mi[x << 1], mi[x << 1 | 1]);
}
void build(int n) {
for (N = 1; N <= n + 1; N <<= 1) {}
std::fill_n(mi, 2 * N, pii{1e9, 0});
}
void update(int x, pii v) {
mi[x += N] = v;
for (x >>= 1; x; x >>= 1) pushup(x);
}
pii query(int l, int r) {
if (l > r) return {1e9, 0};
pii ret = {1e9, 0};
for (l += N - 1, r += N + 1; l ^ r ^ 1; l >>= 1, r >>= 1) {
if (~l & 1) ret = std::min(ret, mi[l ^ 1]);
if (r & 1) ret = std::min(ret, mi[r ^ 1]);
}
return ret;
}
} sgt1, sgt2;
struct SGT_s {
pii mi[kMaxN * 4];
int tag[kMaxN * 4];
void pushup(int x) {
mi[x] = std::min(mi[x << 1], mi[x << 1 | 1]);
}
void addtag(int x, int v) {
mi[x].first += v, tag[x] += v;
}
void pushdown(int x) {
if (tag[x]) {
addtag(x << 1, tag[x]), addtag(x << 1 | 1, tag[x]);
tag[x] = 0;
}
}
void build(int x, int l, int r) {
if (l == r) return void(mi[x] = {1e9, l});
int mid = (l + r) >> 1;
build(x << 1, l, mid), build(x << 1 | 1, mid + 1, r);
pushup(x);
}
void update1(int x, int l, int r, int ql, int v) {
if (l == r) return void(mi[x].first = v);
pushdown(x);
int mid = (l + r) >> 1;
if (ql <= mid) update1(x << 1, l, mid, ql, v);
else update1(x << 1 | 1, mid + 1, r, ql, v);
pushup(x);
}
void update2(int x, int l, int r, int ql, int qr, int v) {
if (l > qr || r < ql) return;
else if (l >= ql && r <= qr) return addtag(x, v);
pushdown(x);
int mid = (l + r) >> 1;
update2(x << 1, l, mid, ql, qr, v), update2(x << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr, v);
pushup(x);
}
} sgt3, sgt4;
void rebuild1(int l, int r, int suf) {
for (; l <= r;) {
auto p = sgt1.query(l, r);
// if (p.second) assert(p.first == a[p.second]);
if (!p.second || p.first > suf) return;
int x = p.second;
st1.emplace(x), st3.emplace(a[x], x);
sgt3.update1(1, 1, n, x, abs((x - bit1.qry(x)) - (a[x] - bit2.qry(a[x]))));
l = x + 1;
}
}
void rebuild2(int l, int r, int pre) {
for (; l <= r;) {
auto p = sgt2.query(l, r);
// if (p.second) assert(p.first == -a[p.second]);
if (!p.second || a[p.second] < pre) return;
int x = p.second;
st2.emplace(x), st4.emplace(a[x], x);
sgt4.update1(1, 1, n, x, abs((x - bit1.qry(x)) - (a[x] - bit2.qry(a[x]))));
r = x - 1;
}
}
void upd(int x) {
sgt3.update2(1, 1, n, x, n, 1), sgt4.update2(1, 1, n, x, n, -1);
auto it1 = st3.lower_bound({a[x], x}), it2 = st4.lower_bound({a[x], x});
if (it1 != st3.end()) sgt3.update2(1, 1, n, it1->second, n, -1);
if (it2 != st4.end()) sgt4.update2(1, 1, n, it2->second, n, 1);
bit1.upd(x, 1), bit2.upd(a[x], 1);
}
void work(int x) {
ans = std::max(ans, abs((x - bit1.qry(x)) - (a[x] - bit2.qry(a[x]))));
if (x <= a[x]) {
sgt1.update(x, {1e9, 0});
st1.erase(x), st3.erase({a[x], x});
sgt3.update1(1, 1, n, x, 1e9);
auto it = st1.lower_bound(x);
int nxt = *it, pre = *--it;
rebuild1(pre + 1, nxt - 1, nxt == n + 1 ? (int)1e9 : a[nxt]);
upd(x);
} else {
sgt2.update(x, {1e9, 0});
st2.erase(x), st4.erase({a[x], x});
sgt4.update1(1, 1, n, x, 1e9);
auto it = st2.lower_bound(x);
int nxt = *it, pre = *--it;
rebuild2(pre + 1, nxt - 1, a[pre]);
upd(x);
}
// std::cerr << x << ' ' << ans << ' ' << st3.size() << ' ' << st4.size() << '\n';
}
void prework() {
st1.emplace(0), st1.emplace(n + 1);
st2.emplace(0), st2.emplace(n + 1);
sgt1.build(n), sgt2.build(n);
sgt3.build(1, 1, n), sgt4.build(1, 1, n);
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
if (i <= a[i]) sgt1.update(i, {a[i], i});
else sgt2.update(i, {-a[i], i});
}
rebuild1(1, n, 1e9), rebuild2(1, n, 0);
}
void dickdreamer() {
std::cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; ++i) std::cin >> a[i];
prework();
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
work(std::min(sgt3.mi[1], sgt4.mi[1]).second);
}
std::cout << ans << '\n';
}
int32_t main() {
#ifdef ORZXKR
freopen("in.txt", "r", stdin);
freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
std::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
int T = 1;
// std::cin >> T;
while (T--) dickdreamer();
// std::cerr << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << "s\n";
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号