CF1458F Range Diameter Sum 题解
Description
给定一棵包含 \(n\) 个节点(编号 \(1\) 到 \(n\))， \(n-1\) 条长度为 \(1\) 的无向边的树。
设 \(d(u,v)\) 为编号 \(u\) 到编号 \(v\) 两点之间唯一路径的长度。
设 \(f(l,r)\) 为 \(\max\{d(u,v)\}(l\leq u,v\leq r)\)
求:
第一行输入 \(1\) 个整数 \(n\ (1\leq n\leq 10^5)\)。
接下来 \(n-1\) 行，每行两个整数 \(x,y\) 表示编号为 \(x\) 和编号为 \(y\) 的点之间有一条长度为 \(1\) 的边\((1\leq x,y\leq n)\)，保证给定的图是一棵树。
输出对于这棵树，上述表达式的值。
\(1\leq n\leq 10^5\)。
Solution
首先需要说一下树上圆理论。
对于任意一个点集 \(S\)，则所有直径的中点一定重合，否则一定存在另一个更长的直径，设 \(C(S)=(v,r)\) 表示 \(v\) 是直径的中点，\(r\) 是直径长度的一半（\(v\) 可以在边上）。
引理 1：如果 \(S\subseteq (v,r)\) 且 \(a,b\in S\)，则 \(dist(mid(a,b),v)+\frac{dist(a,b)}{2}\leq r\)。
证明
画图后易得。引理 2：如果 \(S\subseteq (v,r)\)，则 \(C(s)\subseteq (v,r)\)。
证明
设 \(C(S)=(v',r')\)，则 \(v'\) 一定是 \(S\) 中某个直径的中点，由引理 1 可得：\(dist(v,v')+r'\leq r\)。
那么对于任意 \(x\in C(S)\)，则 \(dist(v,x)\leq dist(v,v')+dist(v',x)\leq r-r'+r'\leq r\)。结论得证。
然后考虑怎么合并两个树上圆。
如果 \(C_1\supseteq C_2\)，则合并为 \(C_1\)，条件为 \(dist(v_1,v_2)\leq r_1-r_2\)。
如果 \(C_1\subseteq C_2\)，则合并为 \(C_2\)，条件为 \(dist(v_1,v_2)\leq r_2-r_1\)。
否则可以用类似几何圆的合并，将其合并为 \((v,r)\)，满足 \(r=\frac{r_1+r_2+dist(v_1,v_2)}{2}\)，\(v\) 为 \(v_1\) 向 \(v_2\) 的方向移动 \(r-r_1\) 步的最终位置。证明略。
回到这题，先分治，假设当前分治区间为 \([l,r]\)，\(mid\) 为中点。
设 \(C_{1,i}\) 为将 \([i,mid]\) 合并后的圆，\(C_{2,i}\) 为将 \([mid+1,i]\) 合并后的圆。
那么固定 \(C_{1,i}\)，则有三段：\([mid+1,t_{1,i}]\) 结果为 \(r_i\)，\((t_{1,i},t_{2,i}-1)\) 结果为 \(r_i+r_j+dist(r(C_{1,i},r(C_{2,j})))\)，后面的结果是 \(r_j\)。
第一和第三部分是好算的，第二部分树剖维护即可。
时间复杂度：\(O(n\log^3n)\)。
Code
#include <bits/stdc++.h>
// #define int int64_t
using i64 = int64_t;
using pii = std::pair<int, int>;
const int kMaxN = 2e5 + 5;
int n; i64 ans = 0;
int p[kMaxN], dep[kMaxN], sz[kMaxN], wson[kMaxN], st[kMaxN][20];
int dfn[kMaxN], idx[kMaxN], top[kMaxN];
std::vector<int> G[kMaxN];
/*
sum1[i] (bit1) : i 或者 i 的轻子树的标记点到 i 的距离和
cnt1[i] (bit2) : i 或者 i 的轻子树的标记点个数
sum2[i] (bit3) : i 或者 i 的轻子树的标记点个数 * dep[i]
cnt2[i] (bit4) : i 的子树内的标记点个数
sum3[i] (bit5) : i 的子树内标记点的 dep 和
*/
struct BIT {
i64 c[kMaxN];
void upd(int x, int v) {
for (; x <= 2 * n; x += x & -x) c[x] += v;
}
void upd(int l, int r, int v) {
if (l <= r) upd(l, v), upd(r + 1, -v);
}
i64 qry(int x) {
i64 ret = 0;
for (; x; x -= x & -x) ret += c[x];
return ret;
}
i64 qry(int l, int r) { return l <= r ? qry(r) - qry(l - 1) : 0; }
} bit1, bit2, bit3, bit4, bit5;
int get(int x, int y) { return dfn[x] < dfn[y] ? x : y; }
void dfs1(int u, int fa) {
sz[u] = 1, dep[u] = dep[fa] + 1, p[u] = fa;
for (auto v : G[u]) {
if (v == fa) continue;
dfs1(v, u);
sz[u] += sz[v];
if (sz[v] > sz[wson[u]]) wson[u] = v;
}
}
void dfs2(int u, int fa, int t) {
static int cnt = 0;
st[dfn[u] = ++cnt][0] = fa, idx[cnt] = u, top[u] = t;
if (wson[u]) dfs2(wson[u], u, t);
for (auto v : G[u]) {
if (v == fa || v == wson[u]) continue;
dfs2(v, u, v);
}
}
int LCA(int x, int y) {
if (x == y) return x;
if (dfn[x] > dfn[y]) std::swap(x, y);
int k = std::__lg(dfn[y] - dfn[x]);
return get(st[dfn[x] + 1][k], st[dfn[y] - (1 << k) + 1][k]);
}
int getdis(int x, int y) { return dep[x] + dep[y] - 2 * dep[LCA(x, y)]; }
int getfa(int x, int k) {
assert(dep[x] - 1 >= k);
for (; x; k -= dep[x] - dep[p[top[x]]], x = p[top[x]]) {
if (k <= dep[x] - dep[top[x]])
return idx[dfn[x] - k];
}
assert(0);
}
int move(int x, int y, int k) {
int lca = LCA(x, y), len = dep[x] + dep[y] - 2 * dep[lca];
assert(k <= len);
if (k <= dep[x] - dep[lca]) return getfa(x, k);
else return getfa(y, len - k);
}
pii merge(pii a, pii b) {
if (a.second < b.second) std::swap(a, b);
auto [u1, r1] = a;
auto [u2, r2] = b;
int dis = getdis(u1, u2);
if (dis <= r1 - r2) return a;
assert((r1 + r2 + dis) % 2 == 0);
int r = (r1 + r2 + dis) / 2, u = move(u1, u2, r - r1);
return {u, r};
}
void prework() {
dfs1(1, 0), dfs2(1, 0, 1);
for (int i = 1; i <= std::__lg(2 * n - 1); ++i)
for (int j = 1; j <= 2 * n - 1 - (1 << i) + 1; ++j)
st[j][i] = get(st[j][i - 1], st[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
}
void update(int x, int v) {
bit4.upd(dfn[x], v), bit5.upd(dfn[x], v * dep[x]);
for (int i = x; i; i = p[top[i]]) {
bit1.upd(dfn[i], v * (dep[x] - dep[i])), bit2.upd(dfn[i], v);
bit3.upd(dfn[i], v * dep[i]);
}
}
i64 query(int x) {
i64 ret = 0;
int lst = 0;
for (int i = x; i; i = p[top[i]]) {
int cnt = bit2.qry(dfn[top[i]], dfn[i] - 1);
ret += 1ll * cnt * dep[x] - bit3.qry(dfn[top[i]], dfn[i] - 1) + bit1.qry(dfn[top[i]], dfn[i] - 1);
int cnt1 = bit4.qry(dfn[i], dfn[i] + sz[i] - 1);
ret += 1ll * cnt1 * (dep[x] - dep[i]) + bit5.qry(dfn[i], dfn[i] + sz[i] - 1) - 1ll * cnt1 * dep[i];
if (lst) {
int cnt2 = bit4.qry(dfn[lst], dfn[lst] + sz[lst] - 1);
ret -= 1ll * cnt2 * (dep[x] - dep[i]) + bit5.qry(dfn[lst], dfn[lst] + sz[lst] - 1) - 1ll * cnt2 * dep[i];
}
lst = top[i];
}
return ret;
}
void solve(int l, int r) {
static pii c[kMaxN];
static int t1[kMaxN], t2[kMaxN];
static i64 sum[kMaxN];
if (l == r) return;
int mid = (l + r) >> 1;
solve(l, mid), solve(mid + 1, r);
c[mid] = {mid, 0}, c[mid + 1] = {mid + 1, 0};
for (int i = mid - 1; i >= l; --i) c[i] = merge(c[i + 1], {i, 0});
for (int i = mid + 2; i <= r; ++i) c[i] = merge(c[i - 1], {i, 0});
for (int i = mid + 1; i <= r; ++i) sum[i] = sum[i - 1] + c[i].second;
int nl = mid + 1, nr = mid;
for (int i = l; i <= mid; ++i) {
int L = mid, R = r + 1;
t1[i] = mid, t2[i] = r + 1;
while (L + 1 < R) {
int mid = (L + R) >> 1;
if (merge(c[i], c[mid]) == c[i]) L = t1[i] = mid;
else R = mid;
}
L = t1[i], R = r + 1;
while (L + 1 < R) {
int mid = (L + R) >> 1;
if (merge(c[i], c[mid]) == c[mid]) R = t2[i] = mid;
else L = mid;
}
ans += 2ll * c[i].second * (t1[i] - mid) + 2ll * (sum[r] - sum[t2[i] - 1]);
ans += 1ll * c[i].second * (t2[i] - t1[i] - 1) + sum[t2[i] - 1] - sum[t1[i]];
for (; nr < t2[i] - 1; update(c[++nr].first, 1)) {}
for (; nl > t1[i] + 1; update(c[--nl].first, 1)) {}
for (; nr > t2[i] - 1; update(c[nr--].first, -1)) {}
for (; nl < t1[i] + 1; update(c[nl++].first, -1)) {}
ans += query(c[i].first);
}
for (int i = nl; i <= nr; ++i) update(c[i].first, -1);
}
void dickdreamer() {
std::cin >> n;
for (int i = 1; i < n; ++i) {
int u, v;
std::cin >> u >> v;
G[u].emplace_back(i + n), G[i + n].emplace_back(u);
G[v].emplace_back(i + n), G[i + n].emplace_back(v);
}
prework(), solve(1, n);
std::cout << ans / 2 << '\n';
}
int32_t main() {
freopen("image.in", "r", stdin);
freopen("image.out", "w", stdout);
std::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
int T = 1;
// std::cin >> T;
while (T--) dickdreamer();
// std::cerr << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << "s\n";
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号