P9530 [JOISC2022] 鱼 2 题解
Description
JOI 君有 \(N\) 条鱼，编号为 \(1,2,\dots,N\)。第 \(i\) \((1 \le i \le N)\) 条鱼的大小为 \(A_i\)。
当我们养鱼的时候，需要注意如下的一个事实：如果有两条鱼离得很近，那么随着时间的流逝，可能会有其中一条吃掉另一条。其中，两条鱼离得很近，当且仅当它们中间没有鱼。
更具体地，如果鱼 \(x\) 的大小不小于鱼 \(y\) 的大小，且鱼 \(x,y\) 离得很近，那么 \(x\) 可以吃掉 \(y\)，且 \(x\) 的大小变为原来 \(x,y\) 的大小之和。如果 \(x,y\) 一样大，那么 \(x\) 吃掉 \(y\) 或 \(y\) 吃掉 \(x\) 都可能发生。
JOI 君会养 \(Q\) 天鱼。为了消磨时光，他会进行如下的思想实验。在第 \(j\) 天 \((1 \le j \le Q)\)，JOI 君会进行如下行动中的一个：
-
第一类：JOI 君给鱼 \(X_j\) 吃了某些秘制的食物。这会将鱼 \(X_j\) 的大小变为 \(Y_j\)。
-
第二类：JOI 君将编号在区间 \([L_j,R_j]\) 内的鱼单独拿出来，并进行以下实验：
JOI 君将鱼 \(L_j,L_j+1,\dots,R_j\) 从左到右依次放在一个鱼缸中。由于鱼们具有如上所述的特点，最后只有一条鱼会存活。存活的这条鱼的编号取决于在哪些时刻哪些鱼吃掉了哪些鱼。JOI 君想知道可能成为最后存活者的鱼的条数。在实验中，鱼的编号不会改变，也不能有两条鱼同时吃掉同一条鱼。
请写一个程序，对于给定的 JOI 君的鱼和实验的信息，计算每个第二类行动的答案来让 JOI 君能够证明或证伪自己的观点。注意这只是思想实验，并没有任何鱼真的被吃掉。
【数据范围】
对于所有数据，满足：
- \(1 \le N,Q \le 100\,000\)。
- \(1 \le A_i \le 10^9\) \((1\le i\le N)\)。
- \(T_j \in \{1,2\}\)。
- \(1 \le X_j \le N\) \((1\le j\le Q)\)。
- \(1 \le Y_j \le 10^9\)。
- \(1 \le L_j \le R_j \le N\) \((1 \le j \le Q)\)。
Solution
先假设询问区间为 \([1,n]\)。
首先直接判断一条鱼 \(x\) 是否有解是不好做的，考虑判断是否无解。
容易发现如果存在一个区间 \([l,r]\)，满足 \(l<x<r\) 并且 \(sum_{l+1,r-1}<\min\{a_l,a_r\}\) 就说明 \(x\) 一定无法突破 \([l,r]\) 的限制，也就是无解。并且如果 \(x\) 不被任何一个这样的 \([l,r]\) 包含就一定有解。
直接枚举每个 \([l,r]\) 显然无法接受，但有个结论是总共最多 \(O(n\log V)\) 个这样的区间。证明就考虑假设存在两个区间 \([l,r_1]\) 和 \([l,r_2]\) 满足性质，那么 \(sum_{l+1,r_2}>2\cdot sum_{l+1,r_2-1}>2\cdot sum_{l+1,r_1}\)，所以对于每个 \(l\) 只存在 \(O(\log V)\) 个符合条件的 \(r\)，总个数也就是 \(O(n\log V)\)。同样可以证明包含任意一点的线段数也是 \(O(\log V)\) 的，这里就不证了。
快速找到这些线段可以使用线段树二分。询问时相当于问有多少个点没有被线段覆盖，同样用线段树维护即可。
对于修改 \((x,y)\) 就暴力删去与 \(x\) 有关的线段，修改后再加入。
然后考虑询问为任意区间的情况。
不妨设询问为 \([L,R]\)，那么对于全局的一个线段 \([l,r]\) 满足 \(L\leq l\leq r\leq R\) 或者 \(l\leq L\leq r\leq R\) 或 \(L\leq l\leq R\leq r\) 的话这个线段一定能造成贡献，而如果 \([l,r]\) 完全包含 \([L,R]\) 就说明 \([l,r]\) 不能造成贡献，找到这些线段再去掉即可。
时间复杂度：\(O\left((n+q)\log n\log V\right)\)。
Code
Code
#include <bits/stdc++.h>
#define int int64_t
const int kMaxN = 1e5 + 5;
int n, q;
int a[kMaxN];
std::set<std::pair<int, int>> st;
std::vector<int> vl[kMaxN], vr[kMaxN];
struct BIT {
int c[kMaxN];
void upd(int x, int v) {
for (; x <= n; x += x & -x) c[x] += v;
}
int qry(int x) {
int ret = 0;
for (; x; x -= x & -x) ret += c[x];
return ret;
}
} bit;
struct SGT1 {
int mx1[kMaxN * 4], tag1[kMaxN * 4];
int mx2[kMaxN * 4], tag2[kMaxN * 4];
void pushup(int x) {
mx1[x] = std::max(mx1[x << 1], mx1[x << 1 | 1]);
mx2[x] = std::max(mx2[x << 1], mx2[x << 1 | 1]);
}
void addtag(int x, int v1, int v2) {
mx1[x] += v1, tag1[x] += v1;
mx2[x] += v2, tag2[x] += v2;
}
void pushdown(int x) {
if (tag1[x] || tag2[x]) {
addtag(x << 1, tag1[x], tag2[x]), addtag(x << 1 | 1, tag1[x], tag2[x]);
tag1[x] = tag2[x] = 0;
}
}
void update(int x, int l, int r, int ql, int qr, int v1, int v2) {
if (l > qr || r < ql) return;
else if (l >= ql && r <= qr) return addtag(x, v1, v2);
pushdown(x);
int mid = (l + r) >> 1;
update(x << 1, l, mid, ql, qr, v1, v2), update(x << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr, v1, v2);
pushup(x);
}
int getpos1(int x, int l, int r, int ql, int qr, int v) {
if (l > qr || r < ql || mx1[x] <= v || ql > qr) return 0;
else if (l >= ql && r <= qr) {
if (l != r) pushdown(x);
int mid = (l + r) >> 1;
if (l == r) return l;
else return mx1[x << 1 | 1] > v ? getpos1(x << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr, v) : getpos1(x << 1, l, mid, ql, qr, v);
}
pushdown(x);
int mid = (l + r) >> 1, R = getpos1(x << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr, v);
if (R) return R;
else return getpos1(x << 1, l, mid, ql, qr, v);
}
int getpos2(int x, int l, int r, int ql, int qr, int v) {
if (l > qr || r < ql || mx2[x] <= v || ql > qr) return 0;
else if (l >= ql && r <= qr) {
if (l != r) pushdown(x);
int mid = (l + r) >> 1;
if (l == r) return l;
else return mx2[x << 1] > v ? getpos2(x << 1, l, mid, ql, qr, v) : getpos2(x << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr, v);
}
pushdown(x);
int mid = (l + r) >> 1, L = getpos2(x << 1, l, mid, ql, qr, v);
if (L) return L;
else return getpos2(x << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr, v);
}
} sgt1;
struct SGT2 {
int mi[kMaxN * 4], cnt[kMaxN * 4], tag[kMaxN * 4];
void pushup(int x) {
mi[x] = std::min(mi[x << 1], mi[x << 1 | 1]);
cnt[x] = 0;
if (mi[x << 1] == mi[x]) cnt[x] += cnt[x << 1];
if (mi[x << 1 | 1] == mi[x]) cnt[x] += cnt[x << 1 | 1];
}
void addtag(int x, int v) {
mi[x] += v, tag[x] += v;
}
void pushdown(int x) {
if (tag[x]) {
addtag(x << 1, tag[x]), addtag(x << 1 | 1, tag[x]);
tag[x] = 0;
}
}
void build(int x, int l, int r) {
cnt[x] = r - l + 1;
if (l == r) return;
int mid = (l + r) >> 1;
build(x << 1, l, mid), build(x << 1 | 1, mid + 1, r);
}
void update(int x, int l, int r, int ql, int qr, int v) {
if (l > qr || r < ql) return;
else if (l >= ql && r <= qr) return addtag(x, v);
pushdown(x);
int mid = (l + r) >> 1;
update(x << 1, l, mid, ql, qr, v), update(x << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr, v);
pushup(x);
}
std::pair<int, int> query(int x, int l, int r, int ql, int qr) {
if (l > qr || r < ql) return {1e9, 0};
else if (l >= ql && r <= qr) return {mi[x], cnt[x]};
pushdown(x);
int mid = (l + r) >> 1;
auto L = query(x << 1, l, mid, ql, qr), R = query(x << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr);
if (L.first == R.first) return {L.first, L.second + R.second};
else return std::min(L, R);
}
} sgt2;
void ins(int l, int r) {
if (r - l + 1 != 1 && !st.count({l, r})) {
sgt2.update(1, 1, n, l + 1, r - 1, 1);
st.emplace(l, r);
}
}
void del(int l, int r) {
if (r - l + 1 == 1 || !st.count({l, r})) return;
sgt2.update(1, 1, n, l + 1, r - 1, -1);
st.erase({l, r});
}
std::vector<std::pair<int, int>> getseg(int x) {
std::vector<std::pair<int, int>> vl, vr, seg;
int s1 = bit.qry(x), s2 = -bit.qry(x - 1);
for (int p = sgt1.getpos1(1, 1, n, 1, x - 1, s1); p; p = sgt1.getpos1(1, 1, n, 1, p - 1, s1)) {
vl.emplace_back(p, s1 - bit.qry(p));
}
for (int p = sgt1.getpos2(1, 1, n, x + 1, n, s2); p; p = sgt1.getpos2(1, 1, n, p + 1, n, s2)) {
vr.emplace_back(p, bit.qry(p - 1) - s1);
}
for (auto [p1, s1] : vl) {
for (auto [p2, s2] : vr) {
if (a[p1] > s1 + s2 && a[p2] > s1 + s2) {
seg.emplace_back(p1, p2);
}
}
}
return seg;
}
std::vector<std::pair<int, int>> getsegs(int x) {
std::vector<std::pair<int, int>> seg;
for (auto [l, r] : st)
if (l < x && x < r)
seg.emplace_back(l, r);
return seg;
}
std::vector<std::pair<int, int>> getsegl(int x) {
std::vector<std::pair<int, int>> vec;
int s = -bit.qry(x);
for (int p = sgt1.getpos2(1, 1, n, x + 1, n, s); p; p = sgt1.getpos2(1, 1, n, p + 1, n, s)) {
int sum = bit.qry(p - 1) + s;
if (sum < a[x] && sum < a[p]) vec.emplace_back(x, p);
}
return vec;
}
std::vector<std::pair<int, int>> getsegr(int x) {
std::vector<std::pair<int, int>> vec;
int s = bit.qry(x - 1);
for (int p = sgt1.getpos1(1, 1, n, 1, x - 1, s); p; p = sgt1.getpos1(1, 1, n, 1, p - 1, s)) {
int sum = s - bit.qry(p);
if (sum < a[x] && sum < a[p]) vec.emplace_back(p, x);
}
return vec;
}
void prework() {
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
sgt1.update(1, 1, n, i, i, a[i], a[i]);
sgt1.update(1, 1, n, i, n, a[i], 0);
sgt1.update(1, 1, n, i + 1, n, 0, -a[i]);
bit.upd(i, a[i]);
}
sgt2.build(1, 1, n);
for (int i = 2; i < n; ++i) {
auto vec = getseg(i);
for (auto [l, r] : vec) ins(l, r);
}
}
void update(int x, int y) {
auto segs = getseg(x);
for (auto [l, r] : segs) del(l, r);
if (x < n - 1) {
auto seg = getsegl(x);
for (auto [l, r] : seg) del(l, r);
}
if (x > 2) {
auto seg = getsegr(x);
for (auto [l, r] : seg) del(l, r);
}
bit.upd(x, y - a[x]);
sgt1.update(1, 1, n, x, x, y - a[x], y - a[x]);
sgt1.update(1, 1, n, x, n, y - a[x], 0);
sgt1.update(1, 1, n, x + 1, n, 0, -(y - a[x]));
a[x] = y;
auto seg1 = getseg(x);
for (auto [l, r] : seg1) ins(l, r);
if (x < n - 1) {
auto seg = getsegl(x);
for (auto [l, r] : seg) ins(l, r);
}
if (x > 2) {
auto seg = getsegr(x);
for (auto [l, r] : seg) ins(l, r);
}
}
int query(int l, int r) {
std::vector<std::pair<int, int>> vec, tmp;
auto segs = getseg(l);
for (auto [ll, rr] : segs)
if (rr > r)
vec.emplace_back(ll, rr);
for (auto [l, r] : vec) sgt2.update(1, 1, n, l + 1, r - 1, -1);
int s1 = bit.qry(r), s2 = -bit.qry(l - 1);
for (int p = sgt1.getpos1(1, 1, n, l, r - 1, s1); p; p = sgt1.getpos1(1, 1, n, l, p - 1, s1)) {
tmp.emplace_back(p, r + 1);
sgt2.update(1, 1, n, p + 1, r, 1);
}
for (int p = sgt1.getpos2(1, 1, n, l + 1, r, s2); p; p = sgt1.getpos2(1, 1, n, p + 1, r, s2)) {
tmp.emplace_back(l - 1, p);
sgt2.update(1, 1, n, l, p - 1, 1);
}
auto p = sgt2.query(1, 1, n, l, r);
for (auto [l, r] : vec) sgt2.update(1, 1, n, l + 1, r - 1, 1);
for (auto [l, r] : tmp) sgt2.update(1, 1, n, l + 1, r - 1, -1);
if (!p.first) return p.second;
else return 0;
}
void dickdreamer() {
std::cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; ++i) std::cin >> a[i];
prework();
std::cin >> q;
for (int i = 1; i <= q; ++i) {
int op, l, r;
std::cin >> op >> l >> r;
if (op == 1) update(l, r);
else std::cout << query(l, r) << '\n';
}
}
int32_t main() {
#ifdef ORZXKR
freopen("in.txt", "r", stdin);
freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
std::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
int T = 1;
// std::cin >> T;
while (T--) dickdreamer();
// std::cerr << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << "s\n";
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号