[ARC155D] Avoid Coprime Game 题解

Description

非负整数 \(x,y\) 的最大公约数记为 \(\gcd(x,y)\)，规定 \(\gcd(x,0)=\gcd(0,x)=x\)。

黑板上写了 \(N\) 个整数 \(A_1,A_2,...,A_N\)，这 \(N\) 个数的最大公约数是 \(1\)。Takahashi 和 Aoki 在玩游戏，有一个变量 \(G\) 初值为 \(0\)，他们轮流进行以下操作：

从黑板上选择一个数 \(a\)，必须满足 \(\gcd(a,G)\ne 1\)，从黑板上擦掉这个数，并将 \(G\) 的值改为 \(\gcd(a,G)\)。

Takahashi 先手，谁无法操作就输了，两人都采取最优策略。

请你对于 \(i=1,2,..,N\) 分别判断，假如第一步 Takahashi 选择的数是 \(A_i\)，最后谁会获胜。

• $ 2\ \leq\ N\ \leq\ 2\ \times\ 10^5 $
• $ 2\ \leq\ A_i\ \leq\ 2\ \times\ 10^5 $

Code

考虑对于必胜必败态进行 dp，不妨设当前 gcd 为 \(G\)，注意到删数很难用状态表示，但是发现删掉的数一定是当前 \(G\) 的倍数，而其他 \(G\) 的倍数与 \(G\) 的 gcd 还是 \(G\)，并且不是 \(G\) 的倍数的数一定没被删。

所以只要记录 \(G\) 和当前轮数即可刻画这个状态，显然过不了。

---

先考虑每次 \(G\) 一定会变小的情况，设 \(f_i\) 表示 \(G=i\) 是否必胜/必败，\(cnt_i\) 表示 \(i\) 的倍数的个数。

那么枚举一个 \(j\) 使得 \(\exists x,gcd(i,x)=j\)，如果 \(f_j\) 为必败，则 \(f_i\) 必胜。如果所有 \(j\) 全必胜，则 \(f_i\) 必败。

但是这题 \(G\) 不一定会变小，考虑什么情况下 \(G\) 不会变小。

注意到如果存在一个 \(f_j(j<i)\) 满足其是必败态，则当前操作一定最优。所以 \(G\) 不变小当且仅当所有转移到的 \(f_j\) 都必胜，则两人一定不停操作直到必须变小，即操作到 \(cnt_i\) 轮的人会必胜。

所以只要记录一维状态表示当前操作了奇数/偶数轮，\(f_{i,0/1}\) 表示当前 \(G=i\)，在这之前操作了偶数/奇数轮。

然后同样进行 dp，如果后继状态全必胜，则 \(f_{i,1-(cnt_i\bmod 2)}\) 必胜。

时间复杂度：\(O(V\log^2 V+N)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>

// #define int int64_t

const int kMaxN = 2e5 + 5;

int n;
int a[kMaxN], cnt[kMaxN], tmp[kMaxN];
bool f[kMaxN][2];
std::vector<int> d[kMaxN];

void dickdreamer() {
  std::cin >> n;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    std::cin >> a[i];
    ++cnt[a[i]];
  }
  for (int i = 2; i <= 2e5; ++i) {
    d[i].emplace_back(i);
    for (int j = 2 * i; j <= 2e5; j += i)
      cnt[i] += cnt[j], d[j].emplace_back(i);
  }
  for (int i = 2; i <= 2e5; ++i) {
    bool fl = 0;
    for (auto j : d[i]) tmp[j] = cnt[j];
    for (int j = (int)d[i].size() - 1; ~j; --j) {
      int x = d[i][j];
      if (x != i && tmp[x]) {
        if (!f[x][0]) f[i][1] = 1, fl = 1;
        if (!f[x][1]) f[i][0] = 1, fl = 1;
      }
      for (auto k : d[x]) tmp[k] -= tmp[x];
    }
    if (!fl) f[i][~cnt[i] & 1] = 1;
  }
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    std::cout << (f[a[i]][1] ? "Aoki\n" : "Takahashi\n");
  }
}

int32_t main() {
#ifdef ORZXKR
  freopen("in.txt", "r", stdin);
  freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
  std::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
  int T = 1;
  // std::cin >> T;
  while (T--) dickdreamer();
  // std::cerr << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << "s\n";
  return 0;
}