莫比乌斯反演学习笔记
数论函数
定义：定义域是正整数，值域是复数的函数。
狄利克雷卷积
- 定义：
\[\begin{aligned}
(f\ast g)(n)=&\sum_{d|n,d\in{\mathbb{N}}}{f(d)\cdot g\bigg(\dfrac{n}{d}\bigg)}\\
=&\sum_{d|n,d\in{\mathbb{N}}}{f\bigg(\dfrac{n}{d}\bigg)\cdot g(d)}
\end{aligned}
\]
常用的数论函数
- 单位函数：
\[\varepsilon(n)=
\begin{cases}
1& n=1\\
0& \text{其它}
\end{cases}
\]
- 幂函数：
\[Id_{k}(n)=n^k
\]
- 当 \(k=1\) 时，\(Id_{k}(n)\) 可以表示为 \(Id(n)\)。
- 当 \(k=0\) 时，\(Id_{k}(n)\) 可以表示为 \(I(n)\)。
- 除数函数：
\[\sigma_{k}(n)=\sum_{d|n}{d^k}
\]
- 欧拉函数
\[\varphi(n)=n\cdot\prod_{i=1}^{k}{\dfrac{p_i-1}{p_i}}
\]
积性函数
-
定义：积性函数是指对于所有互质的正整数 \(a,b\)，都有 \(f(ab)=f(a)\cdot f(b)\) 的数论函数。
另：完全积性函数指任意两个正整数 \(a,b\)，都有 \(f(ab)=f(a)\cdot f(b)\) 的数论函数。 -
性质：若 \(f\) 是一个积性函数，那么 \(f(1)=1\)。
狄利克雷卷积的常用定理
- 若 \(f,g\) 都是积性函数，那么 \(f\ast g\) 也是积性函数。
- 交换律：\(f\ast g=g\ast f\)
- 结合律：\((f\ast g)\ast h=f\ast(g\ast h)\)
- 分配律：\(f\ast(g+h)=f\ast g+f\ast h\)
常用的特殊狄利克雷卷积
- \(Id_k\ast I=\sigma_{k}\)
- \(\varphi\ast I=Id\)
- \(I\ast I=\sigma\)
狄利克雷逆
- 单位元：乘上单位元后不改变结果的数值。
- 狄利克雷卷积中的单位元：\(\varepsilon\)。
- 狄利克雷逆：
- 定义：若函数 \(f\ast g=\varepsilon\)，就称 \(f\) 和 \(g\) 互为狄利克雷逆。
- 函数 \(f\) 的狄利克雷逆表示为 \(f^{-1}\)。
- 一个数论函数 \(f\) 存在狄利克雷逆的充分必要条件是：\(f(1)\neq 0\)，且函数 \(f\) 若存在狄利克雷逆，则 \(f^{-1}\) 是唯一的。
- 积性函数一定存在狄利克雷逆。
莫比乌斯反演公式
- 莫比乌斯函数
- 定义：莫比乌斯函数 \(\mu\) 为常数函数 \(I\) 的狄利克雷逆。
\[\mu(n)=
\begin{cases}
1& n=1\\
(-1)^{k}& n=\prod\limits_{i=1}^{k}{p_i}\space\space\space p_i\in \mathbb{prime}\\
0& \text{其它}
\end{cases}
\]
- 莫比乌斯反演公式
- \(g=f\ast I\Longleftrightarrow f=g\ast \mu\)
- \(g(n)=\sum\limits_{d|n}{f(d)}\Longleftrightarrow f(n)=\sum\limits_{d|n}{\mu(d)\cdot g\big(\frac{n}{d}\big)}\)
- \(g(n)=\sum\limits_{n|N}{f(N)}\Longleftrightarrow f(n)=\sum\limits_{n|N}{g(N)\cdot\mu\big(\frac{N}{n}\big)}\)
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