ABC232 部分题目题解

• A

不讲，代码。

• B

挨个判断每一位需要做多少次即可，\(O(|S|)\)。

代码。

• C

题目已经给你判断相同图的方法了，注意到 \(n\leq 8\) 所以直接阶乘枚举编号即可，\(O(n^2\cdot n!)\)。

代码。

• D

典型的标数法。

设 \(f[i][j]\) 表示从 \((1,1)\) 走到 \((i,j)\) 中经过的最多的空方块个数。若无法走到则 \(f[i][j]\) 设为 \(-1\)。

初始化：处理出第一行和第一列，如果当前格为障碍，则其再往右或往下均为 \(-1\)。

状态转移：
如果 \(f[i-1][j]\) 和 \(f[i][j-1]\) 均为 \(-1\) 或者 \((i,j)\) 本身就是障碍，则 \(f[i][j]\) 也应设为 \(-1\)。

否则，取 \(f[i-1][j]\) 和 \(f[i][j-1]\) 中的那个不是 \(-1\) 的转移，不妨设 \(f[i-1][j] \neq -1\)，则 \(f[i][j] = f[i-1][j] +1\)。

时间复杂度：\(O(nm)\)。

代码。

• E

假设一矩阵 \(M_k\) 表示車从 \((x1,y1)\) 出发后移动 \(k\) 步后到每一个格子的方法种数。

易知：

\[M_0= \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0\\ \vdots& \vdots & \vdots\\ 0&\cdots 1\cdots &0\\ \vdots& \vdots & \vdots\\ 0&\cdots & 0\\ \end{bmatrix} \]

且 \(M_k\) 中的 \((i,j)\) 上的数即为 \(M_{k-1}\) 中第 \(i\) 行 与第 \(j\) 列上所有数的和（不算 \((i,j)\)）。

可以发现一个事实：对于任意 \(M_k\)，第 \(x1\) 行上的数（不算 \((i,j)\)） 全部相同，第 \(y1\) 列上的数（不算 \((i,j)\)） 全部相同，其余所有的数也全部相同。

那么可以设：

\[M_k= \begin{bmatrix} d & d& \cdots b& \cdots d&\\ d & d& \cdots b& \cdots d&\\ \vdots& \vdots& \cdots \vdots&\cdots\vdots& \\ c & c& \cdots a& \cdots c&\\ d & d& \cdots b& \cdots d&\\ \vdots& \vdots& \cdots \vdots& \cdots\vdots& \\ d & d& \cdots b& \cdots d&\\ \end{bmatrix} \]

则可得出递推式子：

\[\begin{cases} a=(n-1)b_0+(m-1)c_0\\ b=a_0+(n-2)b_0+(m-1)d_0\\ c=a_0+(m-2)c_0+(n-1)d_0\\ d=b_0+c_0+(n+m-4)d_0 \end{cases} \]

复杂度 \(O(k)\)，可以过，代码。

优化

这个式子显然可以矩阵递推。

设 \(A_k=\begin{bmatrix}a,b,c,d\end{bmatrix}\)。

\[A_k=A_{k-1}* \begin{bmatrix} 0&n-1&m-1&0\\ 1&n-2&0&m-1\\ 1&0&m-2&n-1\\ 0&1&1&n+m-4 \end{bmatrix} \]

那么就可以 \(O(\log k)\) 了。