hdu 2048 全错位排列

中文题。。。。

全错位排列 递推式f[n] = (f[n-1] +f[n-2]) * (n-1)

证明（摘至百度百科）：

用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封，a、b、c……表示n份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作f(n)。假设把a错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：

（1）b装入A里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，应有f(n-2)种错装法。

（2）b装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a之外的）(n-1 )份信纸b、c……装入（除B以外的）n－1个信封A、C……，显然这时装错的方法有f(n-1)种。

总之在a装入B的错误之下，共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。a装入C，装入D……的n－2种错误之下，同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法，因此:

f(n)=(n-1) {f(n-1)+f(n-2)}

公式可重新写成 f(n)-nf(n-1)=-[f(n-1)-(n-1)f(n-2)] (n>2)

于是可以得到

f(n)-nf(n-1)=-[f(n-1)-(n-1)f(n-2)]

=((-1)^2)[f(n-2)-(n-2)f(n-3)]

=((-1)^3)[f(n-3)-(n-3)f(n-4)]

=……

=[(-1)^(n-2)][f(2)-2f(1)]

最终得到一个更简单的递推式 f(n)=nf(n-1)+(-1)^(n-2)

或者等价式 f(n)=nf(n-1)+(-1)^(n) n=2,3,4……

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
double f[100] ;
long long fac[100] ;
void A()
{
        fac[0]=1,fac[1]=1,fac[2]=2;
        for(int i=3 ; i<22;i++){
            fac[i]=fac[i-1]*i ;
        }
}
int main()
{
    A() ;
    int t;
    scanf("%d",&t) ;
    while(t--){
        int n ;
        scanf("%d",&n);
        memset(f,0,sizeof(f));
        f[2] = 1.0;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2]) ;
        }
        printf("%.2lf%%\n",1.0*f[n]/(1.0*fac[n])*100) ;
    }
    return 0;
}