第三章作业

1.实验报告:
1.1 递归方程与边界条件
状态定义：dp [i][j] 表示从起点 (1,1) 走到 (i,j) 的最小通行费，a [i][j] 为该方格费用
最优子结构：到 (i,j) 只能从上方 (i-1,j) 或左方 (i,j-1) 到达，最优解由两个子问题最优解得到
递归方程：dp [i][j]=min (dp [i-1][j],dp [i][j-1])+a [i][j]
边界条件：dp[1][1]=a[1][1]
第一行：dp [1][j]=dp [1][j-1]+a [1][j]
第一列：dp [i][1]=dp [i-1][1]+a [i][1]

1.2 填表说明

• 维度：二维 N×N 的 dp 表
• 填表范围：1≤i≤N，1≤j≤N
• 填表顺序：先填起点，再填第一行、第一列；之后从上到下、每行从左到右填表，保证计算时所依赖的值已算出
• 原问题最优值：dp [N][N]

1.3 复杂度
时间复杂度：O (N²)，一共 N² 个状态，每个状态常数运算
空间复杂度：O (N²)，存放二维 dp 数组

2.动态规划的思考重点在于挖掘问题内在的递推联系:先把原问题拆解为子问题，定义状态来表示子问题的最优结果，再建立状态之间的转移关系，自底向上逐步推导。它的优势在于复用子问题的解，舍弃重复运算，从而高效求出全局最优