ABC447G 题解

本做法为随机化做法，思路是这篇题解

题目链接

记选的 \(6\) 个题目为 \(k_{1/2/3/4/5/6}\)。

首先我们将题目类型随机赋值为 \(0/1/2/3\)，显然原来不合法的方案在随机赋值之后仍然不合法，而实际上的最优解在现在仍然合法的概率为 $\frac{3}{256} $。

证明：

• \(k_3\) 与 \(k_4\) 不相同的概率为 \(\frac{3}{4}\)，因为 \(k_3\) 可以随便取，之后 \(k_4\) 的值只能在 \(0/1/2/3\) 中挑除了 \(k_3\) 以外剩下的 \(3\) 个。

• 固定 \(k_3\) 与 \(k_4\) 之后，\(k_{1/2/3/4}\) 互不相同的概率为 \(\frac{1}{4} \times \frac{2}{4}=\frac{1}{8}\)，因为 \(k_1\) 可以挑 \(4\) 个中的 \(2\) 个，\(k_2\) 只能挑 \(4\) 个中的 \(1\) 个。

• 同理 \(k_{3/4/5/6}\) 互不相同的概率也为 \(\frac{1}{8}\)。总概率为 \(\frac{3}{4} \times \frac{1}{8}\times \frac{1}{8}=\frac{3}{256}\)。

这样我们就将题目类型数缩减到了 \(4\)。设随机赋值后新的题目类型为 \(g_i\)。

接下来我们维护以下信息

\[pre_{i,j}= \max\limits_{1\le k \le i \bigwedge g_k=j}a_k \]

\[suf_{i,j}= \max\limits_{i\le k \le n \bigwedge g_k=j}a_k \]

\[s_{i,j} = a_i+\sum_{k\in \left \{ 0,1,2,3 \right \} \bigwedge k \ne g_i \bigwedge k \ne j}suf_{i+1,k} \]

\[t_{i,j,k} = \max\limits_{i \le sufi \le n \bigwedge g_{sufi} = j} s_{sufi,k} \]

我们枚举第三个题目的位置 \(i\)，与第四个题目的类型 \(j\)。

那么此时的答案为

\[a_i + t_{i+1,j,g_i} + \sum_{k\in \left \{ 0,1,2,3 \right \} \bigwedge k \ne g_i \bigwedge k \ne j} pre_{i-1,k} \]

这样我们以 \(O(n)\) 的时间复杂度解决了问题。

接着我们随机赋值 \(600\) 次，那么错误率为 \((1-\frac{3}{256})^{600} \approx 8 \times 10^{-4}\)。可以接受。

实测 \(T = 300\) 时 WA 两个点， \(T = 500\) 时可以通过。

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<random>
#define mp make_pair
#define fo(i , x , y) for(int i = x ; i <= y ; i++)
#define go(i , x , y) for(int i = x ; i >= y ; i--)
using namespace std;
mt19937 rd(time(0));
const int maxn = 100000;
const long long inf = 100000000000;
int n , k[maxn + 5];
long long a[maxn + 5] , f[maxn + 5] , g[maxn + 5];
long long pre[maxn + 5][4] , suf[maxn + 5][4] , s[maxn + 5][4] , t[maxn + 5][4][4];
long long solve(){
    fo(i , 1 , n) f[i] = rand() % 4;
    fo(i , 1 , n) g[i] = f[k[i]];
    //--------------------
    fo(j , 0 , 3) pre[0][j] = -inf;
    fo(i , 1 , n){
        fo(j , 0 , 3){
            pre[i][j] = pre[i - 1][j];
            if(g[i] == j) pre[i][j] = max(pre[i][j] , a[i]);
        }
    }
    //--------------------
    fo(j , 0 , 3) suf[n + 1][j] = -inf;
    go(i , n , 1){
        fo(j , 0 , 3){
            suf[i][j] = suf[i + 1][j];
            if(g[i] == j) suf[i][j] = max(suf[i][j] , a[i]);
        }
    }
    //--------------------
    fo(i , 1 , n){
        fo(j , 0 , 3){
            s[i][j] = a[i];
            fo(k , 0 , 3){
                if(k == j or k == g[i]) continue;
                s[i][j] += suf[i + 1][k];
            }
        }
    }
    //--------------------
    fo(j , 0 , 3)
        fo(k , 0 , 3)
            t[n + 1][j][k] = -inf;
    go(i , n , 1){
        fo(j , 0 , 3)
            fo(k , 0 , 3) t[i][j][k] = t[i + 1][j][k];
        int j = g[i];
        fo(k , 0 , 3)
            t[i][j][k] = max(t[i][j][k] , s[i][k]);
    }
    //--------------------
    long long ans = -inf;
    fo(i , 3 , n - 3){
        fo(j , 0 , 3){
            if(g[i] == j) continue;
            long long cur = t[i + 1][j][g[i]] + a[i];
            fo(k , 0 , 3){
                if(k == g[i] or k == j) continue;
                cur += pre[i - 1][k];
            }
            ans = max(ans , cur);
        }
    }
    return ans;
}
int main(){
    // ios :: sync_with_stdio(0) , cin.tie(0) , cout.tie(0);
    // freopen(".in" , "r" , stdin);
    // freopen(".out" , "w" , stdout);
    cin >> n;
    fo(i , 1 , n) cin >> k[i] >> a[i];
    long long ans = -inf;
    ans = solve();
    fo(i , 1 , 300) ans = max(ans , solve());
    if(ans < 0) cout << "-1\n";
    else cout << ans << "\n";
}