本文是对这篇文章的补充说明，补充了一些结论4的一些细节

\(\varphi(n)\) 表示的是小于等于 $ 𝑛 $ 和 $ 𝑛 $ 互质的数的个数

结论1

\(p\) 为质数，则 \(\varphi(p) = p - 1\)

结论2

\(p\) 为质数，则 \(\varphi(p^k) = p^k-p^{k-1} = (p-1) \times p^{k-1}\)
证明：
\(\because 1\) 到 \(p^k\) 中共有 \(p^{k-1}\) 个数是 \(p\) 的倍数
$\therefore $ 与 \(p^k\) 互质的数有 \(p^k-p^{k-1}\) 个

结论3

\(p,q\) 为互异质数，则 \(\varphi(pq) = \varphi(p) \times \varphi(q)\)
证明:
\(\varphi(p) = p - 1, \varphi(q) = q - 1\)
\(1\) 到 \(pq\) 中有 \(q\) 个 \(p\) 的倍数， \(p\) 个 \(q\) 的倍数，其中 \(pq\) 算了两次
\(\therefore \varphi (pq) = pq-p-q+1=(p-1)(q-1)=\varphi (p) \times \varphi (q)\)

结论4

\(p,q\) 为互异质数，则 \(\varphi(p^a q^b) = \varphi(p^a) \times \varphi(q^b)\)
证明：
\(\varphi(p^a) = (p-1) \times p^{a-1} , \varphi(q^b) = (q-1) \times q^{b-1}\)
\(1\) 到 \(p^a q^b\) 中有 \(p^{a-1} q^b\) 个 \(p\) 的倍数， \(p^a q^{b-1}\) 个 \(q\) 的倍数， \(p^{a-1} q^{b-1}\) 个 \(pq\) 的倍数

\(1\) 到 \(p^a q^b\) 中与 \(p^aq^b\) 不互质的数有 \(p^{a-1} q^b+p^a q^{b-1}-p^{a-1} q^{b-1}\) 个

\(\begin{align*} \varphi(p^a q^b) &= p^aq^b-p^{a-1} q^b-p^a q^{b-1}+p^{a-1} q^{b-1} \\ &= (pq-q-p+1)p^{a-1} q^{b-1} \\ &= (p-1)p^{a-1}(q-1)q^{b-1} \\ &= \varphi(p^a) \times \varphi(q^b) \end{align*}\)

结论4.5

推广： \(\varphi({\textstyle \prod_{i=1}^{n}} p_i^{a_i})= {\textstyle \prod_{i=1}^{n}}\varphi( p_i^{a_i})\)
证明：
考虑数学归纳法
假设第 \(n\) 项成立，设 \(m={\textstyle \prod_{i=1}^{m+1}}p_i^{a_i},A={\textstyle \prod_{i=1}^{m}}p_i^{a_i},B=p_{n+1}^{a_{n+1}}\)

（1） \(1\) 到 \(m\) 中与 \(A\) 不互质的数有 \((A - \varphi (A)) \times B\) 个

解释：
设 \(1\) 到 \(m\) 中与 \(A\) 不互质的数为 \(b\)
设 \(b = kA+a,0\le k\le B-1,1\le a \le A\)
（注意，这里对 \(b\) 的分解不同于普通的 \(\bmod A\) ，但仍然保持一一对应的关系）
\(gcd(b,A) = gcd(kA+a,A) = gcd(a,A)\)
$\therefore $ 要使 \(b\) 与 \(A\) 不互质，充要条件是 \(a\) 与 \(A\) 不互质，而与 \(k\) 无关
\(a\) 有 \((A - \varphi (A))\) 个取值， \(k\) 有 \(B\) 个取值
$\therefore b $ 有 \((A - \varphi (A)) \times B\) 个取值

（2） \(1\) 到 \(m\) 中与 \(B\) 不互质的数有 \((B - \varphi (B)) \times A\) 个

同理可得

（3） \(1\) 到 \(m\) 中与 \(A\) 不互质、与 \(B\) 不互质的数有 \((A - \varphi (A)) \times (B - \varphi (B))\) 个

引理：在模 \(p_{n+1}\) 时， \(yA(0 \le y \le p_{n+1}-1)\) 互不相等
考虑反证
假设 \(\exists y_1,y_2\in [0,p_{n+1}-1],y_1\ne y_2,\)
$y_1A \equiv y_2A \pmod{p_{n+1}} $
则 \((y_1-y_2)A \equiv 0 \pmod{p_{n+1}}\)
\(\because gcd(A,p_{n+1})=1\)
\(\therefore y_1-y_2\equiv 0 \pmod{p_{n+1}}\)
矛盾
此事在费马小定理中亦有记载

依旧设 \(1\) 到 \(m\) 中与 \(A\) 不互质的数为 \(b\)
依旧设 \(b = kA+a,0\le k\le B-1,1\le a \le A\)
设 \(k=xp_{n+1}+y,0\le x\le p_{n+1}^{a_{n+1}-1}-1,0\le y\le p_{n+1}-1\)
\(b=(xp_{n+1}+y)A+a=Axp_{n+1}+yA+a\)
要使 \(b\) 与 \(A\) 不互质， \(a\) 有 \(A-\varphi(A)\) 个取值
要使 \(b\) 与 \(B\) 不互质，即 \(b\) 是 \(p_{n+1}\) 的倍数，
由引理得，对于任意的 \(a\) 与 \(x\)，有且仅有 1 个 \(y\) 使 \(b\) 是 \(p_{n+1}\) 的倍数。
\(x\) 有 \(p_{n+1}^{a_{n+1}-1}\) 种取值，\(a\) 有 \(A-\varphi(A)\) 种取值，\(y\) 在 \(x\) 与 \(a\) 确定时只有一种取值
故共有 \(p_{n+1}^{a_{n+1}-1} \times (A-\varphi(A)) = (A - \varphi (A)) \times (B - \varphi (B))\) 种取值

综上， \(\varphi(m)=\varphi(AB)=AB-(A - \varphi (A)) \times B-(B - \varphi (B)) \times A+(A - \varphi (A)) \times (B - \varphi (B))=\varphi(A)\varphi(B)\)

总结

对于结论3、结论4、结论4.5的证明都用到了以下结构：
\(\varphi (xy)=xy- 与 x 不互质的数的个数 - 与 y 不互质的数的个数 + 与 x , y 都不互质的数的个数\)
这是容斥思想的体现