【luogu AGC032F】One Third（数学）（期望）

One Third

题目链接：luogu AGC032F

题目大意

有一个环，你每次会随机选一个半径切一刀，然后最后形成若干块，要你选一段连续的块，使得它们的面积和最接近 1/3，问你这个距离的最小期望。

思路

有一个神奇的转化，因为是 \(\dfrac{1}{3}\)，你考虑把你切的每一道当成颜色 \(1\)，转 \(120\degree\) 变成颜色 \(2\)，再转一次变成颜色 \(3\)。
那其实答案就变成了你取第一刀颜色 \(1,2\) 之间的区间（包括这两个点），然后答案就是不同颜色的点的最近距离。
因为不同颜色相当于已经转了 \(\dfrac{1}{3}\)，而没有转到三分之一的可以通过第一刀的两个颜色来匹配。

那问题是怎么求，考虑一个小小的容斥，枚举第 \(k\) 小是第一个两段不同颜色的。
那前面的 \(k-1\) 个是一样的，然后再减去前面 \(k\) 个都一样的情况（如果是 \(k=n\) 就不用减，因为一定不一样，边界嘛）
那前面一样的话，我们可以类似缩成一个点，那剩下的就是 \(n-1-(k-1)\) 个乱选。（\(n-1\) 是因为开头的也算是确定了）
所以这个一样的概率是 \(\dfrac{3^{n-1-(k-1)}}{3^{n-1}}=3^{1-k}\)，那 \(k\) 个都一样同理可以算出是 \(3^{-k}\)

所以答案相当于这个：
\(\dfrac{1}{3}\sum\limits_{k=1}^n(3^{1-k}-3^{-k}[k\neq n])E(L_k)\)

其中 \(E(L_k)\) 是第 \(k\) 短的期望长度。
这个可以直接上随机红包的结论，直接是 \(E(L_k)=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^k\dfrac{1}{n-i+1}\)

然后带进去就可以 \(O(n)\) 求了。
（好像说还可以化解爱你一下式子把那个 \(3^{1-k},3^{-k}\) 错位抵消一下得到每个的系数之类的。

代码

#include<cstdio>
#define mo 1000000007

using namespace std;

const int N = 1e6 + 1000;
int n, k, jc[N], inv[N], invs[N], ans;

int add(int x, int y) {return x + y >= mo ? x + y - mo : x + y;}
int dec(int x, int y) {return x < y ? x - y + mo : x - y;}
int mul(int x, int y) {return 1ll * x * y % mo;}

int Sum(int l, int r) {
	if (!l) return invs[r];
	return dec(invs[r], invs[l - 1]);
}

int main() {
	jc[0] = 1; for (int i = 1; i < N; i++) jc[i] = mul(jc[i - 1], i);
	inv[0] = inv[1] = 1; for (int i = 2; i < N; i++) inv[i] = mul(inv[mo % i], mo - mo / i);
	invs[0] = 1; for (int i = 1; i < N; i++) invs[i] = add(invs[i - 1], inv[i]);
	
	scanf("%d", &n);
	int ans = 0;
	for (int k = 1, thr = 1; k <= n; k++, thr = mul(thr, inv[3])) {
		int sum = Sum(n - k + 1, n);
		sum = mul(sum, inv[n]);
		sum = mul(sum, dec(thr, (k == n) ? 0 : mul(thr, inv[3])));
		ans = add(ans, sum);
	}
	ans = mul(ans, inv[3]);
	printf("%d", ans);
	
	return 0;
}