树学习笔记

树

1. 树的定义

树是 \(n\) 个节点的有限集合，当 \(n=0\) 时为空树，空树是树的一个特例；当 \(n>0\) 时为非空树。

在 任意一颗非空树 中，满足：

• 有且仅有一个被称为 根 的节点
• 除根节点外的其余节点可分为 \(m\) 个 互不相交的有限集 \(T_1,T_2,...,T_m\) ，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树

因为 \(T_1,T_2,...,T_m\) 互不相交，所以树 不存在环

树的形式示意图

树相关的术语很多，这里只列举几个 重要 或 常用 的

• 节点：节点包含数据元素及若干指向子树的分支信息
• 子节点：一个节点含有的子树的 根节点 称为该节点的子节点
• 父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点
• 叶节点： 无子树 的节点
• 节点的祖先：从根到该节点经过的 所有 节点
• 节点的子孙：节点的子树中的 所有 节点
• 节点的深度：根节点到这个节点所经历的 边 的个数
• 路径：树中两个节点之间所经过的 节点序列 ，因为树上不存在环，所以 树上路径是唯一的
• 森林：由若干棵 不相交 的树组成的集合

2. 树的存储

常用 孩子表示法 ，类邻接表实现

用 vector 存储当前节点的子节点

实例代码片段

struct Node{
	int val;
vector <int> ch;
};
Node tree[maxn];

3. 树的遍历

3.1 前序遍历

算法流程：

1. 输出当前节点 <=

2. 遍历左子树

3. 遍历右子树

可以理解为在每个节点 左边 添加一个 触发点
当遍历到该触发点时 输出当前节点

前序遍历 “触发点” 理解示意图

3.2 中序遍历

算法流程：

1. 遍历左子树

2. 输出当前节点 <=

3. 遍历右子树

可以理解为在每个节点 下方 添加一个 触发点
当遍历到该触发点时 输出当前节点

中序遍历 “触发点” 理解示意图

3.3 后序遍历

算法流程：

1. 遍历左子树

2. 遍历右子树

3. 输出当前节点 <=

可以理解为在每个节点 右边 添加一个 触发点
当遍历到该触发点时 输出当前节点

后序遍历 “触发点” 理解示意图

4. 二叉查找树

4.1 二叉查找树的查找

算法流程：

1. 读取当前节点

   1. 是查找目标：返回
   2. 不是目标：继续

2. 比较目标和当前节点

   1. 目标 小于 当前节点：查找 左子树
   2. 目标 大于 当前节点：查找 右子树

二叉查找树的查找示意图

4.2 二叉查找树的插入

算法流程：

1. 插入的数据比当前节点 大

   1. 当前节点右子树为空：将新数据 直接 插到 右子节点 的位置
   2. 当前节点右子树不为空：遍历 右子树

2. 插入的数据比当前节点 小

   1. 当前节点左子树为空：将新数据 直接 插到 左子节点 的位置
   2. 当前节点左子树不为空：遍历 左子树

二叉查找树的插入