代数系列——阿贝尔变换的具体运用(1)

代数系列——阿贝尔变换的具体运用(1)

阿贝尔部分求和

\[\sum_{i=1}^{n}{a_{i}b{j}=b_{n}S{n}+\sum_{k=1}^{n-1}{S_n(b_k-b_{k-1})}} \]

证明如下:
\(a_k=S_k-S_{k-1}\)\(k=1,2,\cdots,n\)得知

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{j}&=\sum_{i=1}^{n}(S_k-S_{k-1})b_{k}\\ &=\sum_{i=1}^{n}S_{k}b_{k}-\sum_{i=1}^{n}S_{k-1}b_{k}\\ &=\sum_{i=1}^{n}S_{k}b_{k}-\sum_{i=1}^{n-1}S_{k}b_{k+1}(这是因为S_0=0,所以可以去掉S_0b_1这项,从而进行指标变换)\\ &=S_nb_n+\sum_{i=1}^{n-1}S_{k}(b_{k}-b_{k-1}) \end{aligned} \]

例题

(1989年全国高中联赛)已知\(x_i\in R,i=1,2,\cdots,n,n\geq 2\)满足

\[\sum_{i=1}^{n}\mid x_{i}\mid=1,\sum_{i=1}^{n}{x_i}=0 \]

证明:

\[\mid{\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{i}} \mid\leq{\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}} \]

题解:
不妨记\(x_i\)中全体非负数的和为\(A\),全体负数之和为\(B\),则不难看出\(A-B=1,A+B=0\)
是个傻子都能知道\(A=\frac{1}{2},B=\frac{1}{2}\)
\(S_k=\sum_{i=1}^{k}x_i,k=1,2,\cdots,n\),另记\(S_0=0\)
我是个傻子所以我看不出来有

\[|S_k|\leq \frac{1}{2} \]

阿贝尔变换大法好

\[\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{i}=\frac{1}{n}S_{n}+\sum_{i=1}^{n-1}(\frac{1}{i}-\frac{1}{i-1})=\sum_{i=1}^{n-1}(\frac{1}{i}-\frac{1}{i-1}) \]

那么

\[|\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{i}|\leq \sum_{i=1}^{n-1}|S_i|(\frac{1}{i}-\frac{1}{i-1})\leq \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n-1}(\frac{1}{i}-\frac{1}{i-1})=\frac{1}{2}-\frac{1}{2n} \]

最后一步的最后一个等号我相信只要是一个学过数列的高中生都很熟悉(雾)
时间很少,另外mathjax使用不够熟练,所以例题就这一道了

Conclusion

复杂的和式变换,尤其是带有数列之和与数列单项乘积的时候要考虑阿贝尔部分求和,尽量构造出适合累加消项,或者利于使用柯西不等式的形式
亦可以通过足够多次阿贝尔变换进行消项

posted @ 2021-03-13 15:04  SaikyoDOROC  阅读(52)  评论(0编辑  收藏