[CF 516 E] Drazil and His Happy Friends

A 侧有 \(n\) 个点，B 侧有 \(m\) 个点，从 \(0\) 开始标号。已知初始有若干黑点，其它都是白点。第 \(i\)（\(i \ge 0\)）时刻，若 A 的第 \(i \bmod n\) 个点和 B 的第 \(i \bmod m\) 个点中存在一个黑色的点，则两个点都会被染成黑色。问经过多少天之后可以变成黑色。

下文认为 \(n, m\) 同阶，\(b, g\) 同阶。

不妨 \(n, m\) 互质，否则拆分成 \(\gcd(n, m)\) 组问题。

特判 A 和 B 都没有黑点的无解情况。

不妨先考虑 A 侧全部染色的时间，则 B 侧同理。

对于一个 A 侧的白点 \(t\)，若它的黑色来自黑点 \(s\)（可以在 A 侧或 B 侧），需要找到最小非负整数 \(k\)，满足 \(s + km \equiv t \pmod n\)，则在第 \(s + km\) 时刻后被染色（在 A 侧待一轮不转移不优）。

考虑二分：判断 \(v\) 时刻后能否全部染色。

对于每个 \(s \le v\)，求出满足 \(s + k m \le v\) 的最大整数 \(k = k_1\)。把 \(s\) 也表示成 \(s \equiv k_0 m \pmod n\)，则 \(\forall k_0 \le K \le k_0 + k_1\)，\(K m \bmod n\) 会被染色。

对于 A 侧的 \(s > v\)，初始是黑色，可以认为它是一个 \(k_1 = 0\) 的段，只能覆盖 \(k_0\) 一个位置。

只需判断这些区间是否在 \(\bmod n\) 意义下覆盖了 \(0 \sim n - 1\) 的所有 \(K\)，即可判断 A 侧是否全被染色。

直接对区间排序可以做到 \(O(b \log n \log b)\)。但是 \(k_0\) 是确定的，预先对 \(s\) 排序可以省掉一个 \(\log b\)，优化到 \(O(b \log n)\)。