Games101 作业踩坑记（M1 Mac）

春节番外篇！

作业 0

更新于 2026 年 1 月。

在 M1 Mac 上安装些许困难，最终参考了稀土掘金的教程解决了，抛弃了虚拟机的方案，直接在本机部署环境一劳永逸，还算快的。

https://juejin.cn/post/7144284278023684133#heading-10。

按照该步骤：

• 安装 homebrew、gcc、cmake 即可。这里我之前都装过了。
• 用 homebrew 安装 Eigen。
• 编译过程注意 eigen 库安装的位置可能是和作者不一样的，比如我就是：/opt/homebrew/Cellar/eigen/5.0.1。
• CMakeLists.txt 也报了错，原因是 CMake 的版本太老了，问了 Gemini 这样改成功跑通了：

cmake_minimum_required (VERSION 2.8.11...3.27)
project (homework0)

find_package(Eigen3 REQUIRED)
include_directories("/opt/homebrew/Cellar/eigen/5.0.1/include")

add_executable (main main.cpp)

2.8.11...3.27 表示兼容前面的版本，这里的 include_directories("/opt/homebrew/Cellar/eigen/5.0.1/include") 改成自己的位置，可以自己找一下。

最后按照作业中的要求正常编译就好了：

mkdir build
cd build
cmake ..
make
./main # 运行程序

# 下面是输出的结果（表明程序跑通了🎉(*^▽^*)）
Example of cpp 
1
0.5
1.41421
3.14159
0.5
Example of vector 
Example of output 
1
2
3
Example of add 
2
2
3
Example of scalar multiply 
3
6
9
2
4
6
Example of matrix 
Example of output 
1 2 3
4 5 6
7 8 9

作业代码实现

#include<cmath>
#include<eigen3/Eigen/Core>
#include<eigen3/Eigen/Dense>
#include<iostream>

int main(){

    // Basic Example of cpp
    std::cout << "Example of cpp \n";
    float a = 1.0, b = 2.0;
    std::cout << a << std::endl;
    std::cout << a/b << std::endl;
    std::cout << std::sqrt(b) << std::endl;
    std::cout << std::acos(-1) << std::endl;
    std::cout << std::sin(30.0/180.0*acos(-1)) << std::endl;
    // 30/180 * pib = 1/6 pi

    // Example of vector
    std::cout << "Example of vector \n";
    // vector definition
    Eigen::Vector3f v(1.0f,2.0f,3.0f);
    Eigen::Vector3f w(1.0f,0.0f,0.0f);
    // vector output
    std::cout << "Example of output \n";
    std::cout << v << std::endl;
    // vector add
    std::cout << "Example of add \n";
    std::cout << v + w << std::endl;
    // vector scalar multiply
    std::cout << "Example of scalar multiply \n";
    std::cout << v * 3.0f << std::endl;
    std::cout << 2.0f * v << std::endl;

    // Example of matrix
    std::cout << "Example of matrix \n";
    // matrix definition
    Eigen::Matrix3f i,j;
    i << 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0, 9.0;
    j << 2.0, 3.0, 1.0, 4.0, 6.0, 5.0, 9.0, 7.0, 8.0;
    // matrix output
    std::cout << "Example of output \n";
    std::cout << i << std::endl;
    // matrix add i + j
    std::cout << "Example of matrix add \n";
    std::cout << i + j << std::endl;
    // matrix scalar multiply i * 2.0
    std::cout << "Example of matrix scalar multiply i * 2.0" << std::endl;
    std::cout << i * 2.0f << std::endl;
    // matrix multiply i * j
    std::cout << "Example of matrix multiply multiply  i * j" << std::endl;
    std::cout << i * j << std::endl;
    // matrix multiply vector i * v
    std::cout << "Example of matrix multiply vector i * v" << std::endl;
    std::cout << i * v << std::endl;

    std::cout << "Homework start output" << std::endl;
    Eigen::Vector3f P(2.0f, 1.0f, 1.0f);
    Eigen::Matrix3f R, T;
    float theta = 1.0/4.0 * acos(-1);
    // std::cout << "theta: " << theta << std::endl;
    R << cos(theta), -sin(theta), 0.0, cos(theta), sin(theta), 0.0, 0.0, 0.0, 1.0;
    T << 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 2.0, 0.0, 0.0, 1.0;
    std::cout << "旋转变换后 R*P:\n" << R * P << std::endl; 
    std::cout << "平移变换后 T*R*P:\n" << T * R * P << std::endl;
    return 0;
}

作业最后算出的结果是：

\[\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \]

手算一下就可以很简单地验证。

作业 1

做这个作业也是一上来就遇到报错了，发现是因为没有安装 opencv@2 的原因，但发现 opencv2 已经停止维护了😅，不过根据我上一次的经验，我还是跑通了！

安装好 opencv 后需要修改 main.cpp 中的引入代码，因为现在已经是 opencv4 了：

#include <opencv4/opencv2/opencv.hpp>

这里建议亲自根据 brew info opencv 去调查一下文件目录再写入，只需要保证是从 /include 这个位置开始就对了，比如我这里实际目录的结构是 /opt/homebrew/Cellar/eigen/5.0.1/include/opencv4/opencv2/opencv.hpp。

首先更改 CMakeLists.txt：

cmake_minimum_required (VERSION 2.8.11...3.27)
project (homework0)

find_package(OpenCV REQUIRED)

message(STATUS "Eigen3 include dirs: ${EIGEN3_INCLUDE_DIRS}")
message(STATUS "OpenCV include dirs: ${OpenCV_INCLUDE_DIRS}")
set(CMAKE_CXX_STANDARD 17)

include_directories("/opt/homebrew/Cellar/eigen/5.0.1/include")
include_directories("/opt/homebrew/Cellar/opencv/4.13.0_3/include")


add_executable(Rasterizer main.cpp rasterizer.hpp rasterizer.cpp Triangle.hpp Triangle.cpp)
target_include_directories(Rasterizer PRIVATE 
    ${EIGEN3_INCLUDE_DIRS} 
    ${OpenCV_INCLUDE_DIRS}
)
target_link_libraries(Rasterizer ${OpenCV_LIBRARIES})

然后在 代码框架 目录进行编译即可：

mkdir build && cd build && cmake .. && make

在 /build 下运行：

./Rasterizer

紧接着会在终端中输出，并打开一个窗口！

终于可以开始写作业了，太棒了！🚀

代码实现过程

作业要求：

get_model_matrix(float rotation_angle): 
逐个元素地构建模型变换矩 阵并返回该矩阵。在此函数中，你只需要实现三维中绕 z 轴旋转的变换矩阵， 而不用处理平移与缩放。

模型变换

绕 \(Z\) 轴的旋转矩阵为：

\[\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin\alpha & 0 & 0 \\ \sin\alpha & \cos\alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

自然会想到，直接将该变换作用于给出的参数 model。

Eigen::Matrix4f get_model_matrix(float rotation_angle)
{
    Eigen::Matrix4f model = Eigen::Matrix4f::Identity();
    Eigen::Matrix4f rotate_matrix;
    rotate_matrix << cos(rotation_angle), -sin(rotation_angle), 0.0, 0.0,
                     sin(rotation_angle), cos(rotation_angle), 0.0, 0.0,
                     0.0, 0.0, 1.0, 0.0,
                     0.0, 0.0, 0.0, 1.0;
    model = rotate_matrix * model;
    // TODO: Implement this function
    // Create the model matrix for rotating the triangle around the Z axis.
    // Then return it.

    return model;
}

惊奇的发现按下 AD 键后屏幕中原本平直的白线可以发生旋转了，虽然不知道发生了什么但是大为震撼！

果然还是太菜了，画条线就给我激动坏了 hhh，果然 CG 给我带来的多巴胺还是要比调用 API 来获得图像要多的多。

./Rasterizer -r 20 image.png ：旋转后的输出：

投影变换

这里先要猜测已经做好了 viewing 变换，我已经得到一个 fructum，然后按照课堂所学返回一个透视投影的变换矩阵就好了。

公式推导

根据课堂内容，\(M_{persp}=M_{ortho}\cdot M_{persp\to ortho}\) 。

\[M_{ortho}=\begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & - \frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

\[M_{persp\to ortho} = \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

函数 get_projection_matrix 给出的参数是（四个浮点参数）：

• eye_fov：视角。
• aspect_ratio：宽高比。
• zNear：\(n\)
• zFar：\(f\)

这里的 eye_fov 需要看完第五讲的内容才能理解，如果已知 \(n\) 就能利用 \(eye\_fov\) 推导出高度，接着根据宽高比 aspect_ratio 得到宽度，从而就获得了所有的矩阵参数。

这里用到的关系：

\[\begin{cases} \frac{height}{2} = nearZ\cdot\tan\frac{fovY}{2} \\ width = height \cdot aspect\_ratio \\ r=\frac{width}{2} \\ t=\frac{heigth}{2} \\ r=-l \\ t=-b \end{cases} \]

我们要做的就是把 \(M_{persp}\) 计算出来并返回就好了，将上面三个矩阵乘起来得到：

\[\begin{pmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & - \frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

\[= \begin{pmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{n+f}{2} & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

\[=\begin{pmatrix} \frac{2n}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2n}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{n+f}{n-f} & -\frac{2nf}{n-f} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

由于 \(r=-l\)，\(t=-b\)，即 \(r-l=2r\)，\(t-b=2t\)，\(r+l= 0\)，\(t+b = 0\)。
得到：

\[=\begin{pmatrix} \frac{n}{r} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{n}{t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{n+f}{n-f} & \frac{2nf}{f-n} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

中间可能会发现求出一个倒立的三角形，可以见大佬的理解：https://zhuanlan.zhihu.com/p/509902950

代码实现

分部版本

这是最终代码：

Eigen::Matrix4f get_projection_matrix(float eye_fov, float aspect_ratio,
                                      float zNear, float zFar)
{
    // Students will implement this function

    Eigen::Matrix4f projection = Eigen::Matrix4f::Identity();
    Eigen::Matrix4f M_persp2ortho = Eigen::Matrix4f::Identity();
    Eigen::Matrix4f M_ortho = Eigen::Matrix4f::Identity();
    Eigen::Matrix4f M_ortho_Translate = Eigen::Matrix4f::Identity();
    Eigen::Matrix4f M_ortho_Scale = Eigen::Matrix4f::Identity();
    Eigen::Matrix4f M_yFlip = Eigen::Matrix4f::Identity();
    float n = -zNear, f = -zFar;
    float fov = eye_fov * acos(-1) / 180.0;
    // 将角度转化为弧度
    float h = 2.0 * -n * tan(fov / 2.0);
    float w = h * aspect_ratio;
    float t = h / 2.0;
    float b = - h / 2.0;
    float l = - w / 2.0;
    float r = w / 2.0;
    M_persp2ortho <<
        n, 0.0, 0.0, 0.0,
        0.0, n, 0.0, 0.0,
        0.0, 0.0, n+f, -n*f,
        0.0, 0.0, 1.0, 0.0;
    M_ortho_Translate <<
        1.0, 0.0, 0.0, -(r+l)/2.0,
        0.0, 1.0, 0.0, -(t+b)/2.0,
        0.0, 0.0, 0.0, -(n+f)/2.0,
        0.0, 0.0, 0.0, 1.0;
    M_ortho_Scale << 
        2/(r-l), 0.0, 0.0, 0.0,
        0.0, 2/(t-b), 0.0, 0.0,
        0.0, 0.0, 2/(n-f), 0.0,
        0.0, 0.0, 0.0, 1.0;
    projection = M_yFlip * M_ortho_Scale * M_ortho_Translate * M_persp2ortho;

    // 构建透视投影矩阵并返回
    // TODO: Implement this function
    // Create the projection matrix for the given parameters.
    // Then return it.

    return projection;
}

测试过程中使用的命令 项目根目录：

rm -r build && mkdir build && cd build && cmake .. && make && ./Rasterizer && cd ..

因为不确定 build 是会被覆盖，就每次都删除重新构建了，不过好像不需要如此多此一举？

合并版本

上面的代码是直接施加三个变换的矩阵，我们也可以直接使用推导后得到的矩阵来简化代码。

得到的代码更加简单，但本质只是手动合并了：

Eigen::Matrix4f get_projection_matrix(float eye_fov, float aspect_ratio,
                                      float zNear, float zFar)
{
    // Students will implement this function

    Eigen::Matrix4f projection = Eigen::Matrix4f::Identity();
    float n = -zNear, f = -zFar;
    float fov = eye_fov * acos(-1) / 180.0;
    // 将角度转化为弧度
    float h = 2.0 * -n * tan(fov / 2.0);
    float w = h * aspect_ratio;
    float t = h / 2.0;
    float b = - h / 2.0;
    float l = - w / 2.0;
    float r = w / 2.0;
   
    projection << 
        n/r, 0.0, 0.0, 0.0,
        0.0, n/t, 0.0, 0.0,
        0.0, 0.0, (n+f)/(n-f), 2*n*f/(f-n),
        0.0, 0.0, 1.0, 0.0;

    // TODO: Implement this function
    // Create the projection matrix for the given parameters.
    // Then return it.

    return projection;
}

至此，我们的代码算是完成了。这里，对于绘制出三角形倒立的问题，我采用的解决办法是将 \(n\) 和 \(f\) 取负。