概率相关

概率与期望

\(u\)若\(X\)是一个离散型的随机变量，可能值为\(x_1,x_2…，\)对应的概率分别为\(p_1,p_2…，\)那么它的期望值为

一些结论

1.\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)

2.\(E(aX)=aE(X)\)

3.随机变量(表达式)\(X\)与\(Y\)独立时,\(E(XY)=E(X)E(Y)\)

条件概率

\(P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}[P(A|B)此处表示在B事件发生的情况下A发生的概率；P(AB)表示AB同时发生的概率]\)

\(ex:贝叶斯公式P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}\)

方差相关

\(Var(x)=E(X^2)-E(X)^2\)

概率生成函数（PGF）

\(F(z)=\sum_{i=0}^\infty P(X=i)z^i\)

1. \(F(1)=1\)

   证明:

   \(F(1)=\sum_{i=0}^\infty p_i\),因为\(X\)为正整数域上的随机变量，故为\(1\)

2. \(E(X)=F'(1)\)

   证明:

   \(F'(1)=\sum_{i=1}^\infty p_{i}i=E(X)\)

3. \(E(X^{\underline{k}})=F^{(k)}(1)\)

   证明:

   \(F^{(k)}(1)=\sum_{i=k}^\infty p_ii^{\underline k}=E(X^{\underline k})\)