生成函数(母函数)学习笔记

生成函数（母函数）学习笔记

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普通型生成函数

首先我们有一个序列\(A=\{a_0,a_1,a_2,a_3...a_n\}\)

我们尝试用函数\(f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i\)来表示\(A\)

这就得到了母函数

如果当\(n\rightarrow \infty\)时，\(f(x)=\sum_{i=0}^\infty a_ix^i\) ,这就可以表示无限长的序列了

所以这东西有个**用啊？

别忙，继续往下看...

我们可以由定义得到,序列\(\{1,1,1...\}\)的母函数为\(\sum_{i=0}^\infty x^i\)

但是由小奥的知识可以知道\(\sum_{i=0}^nx^i=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\)

这里我们就蒙了，\(x>1\)时\(x^{n+1}\rightarrow \infty\)

__但是，__我们可以知道当\(x\in (0,1)\)时\(x^{n+1}\)随\(n\rightarrow \infty\)收敛

所以\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=0}^\infty x^i=\frac{1}{1-x}\)

至于为什么我们这里不用考虑\(x>1\)的情况，那是因为母函数为形式幂函数，这货的点值没有卵用，是谁都无所谓了，只要好表示就行，无需关心收敛半径，我们只关心它的系数ntr?

这样我们就得到了该函数的闭形式\(\frac{1}{1-x}\),有了闭形式之后，我们就可以对一个序列的母函数进行各种运算，得到该函数的通项公式或其他性质

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来看些例题

\(E1:\{1,0,1,0,1...\}\)

\[f(x)=\sum_{i=0}^\infty x^{2i}\\ =\sum_{i=0}^\infty (x^2)^i\\ =\frac{1}{1-x^2} \]

\(E2:{1,2,3,4,5...}\)

\[f(x)=\sum_{i=0}^\infty (i+1)x^i\\ =\sum_{i=0}^\infty(x^{i+1})'\\ =(\frac{x}{1-x})'\\ =x(\frac{1}{1-x})'+\frac{x'}{1-x}\\ =\frac{x+1-x}{(1-x)^2}\\ =\frac{1}{(1-x)^2}\\ ps:(uv)'=u'v+uv' \]

\(E3:\)块速递推

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指数型生成函数

对于序列\(A=\{a_0,a_1,a_2,a_3...a_n\}\)

我们定义\(f(x)=\sum_{i=0}^n\frac{a_i}{i!}x^i\)为\(A\)的生成函数

同样从\(\{1,1,1,...\}\)开始,易得\(f(x)=\sum_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i!}=exp(x)\)

关于最后一步怎么来的，详见泰勒展开

\(E1:\hat{P}=\{0!,1!,2!...\}\)

\[f(x)=\sum_{i=0}^\infty \frac{i!}{i!}x^i\\ =\sum_{i=0}^\infty x^i\\ =\frac{1}{1-x} \]

\(E2: \hat{C}=\{0,0!,1!,2!...\}\)

\[f(x)=\sum_{i=1}^\infty \frac{(i-1)!}{i!}x^i\\ =\sum_{i=1}^\infty \frac{x^i}{i}\\ =\sum_{i=0}^\infty\int x^idx\\ =\int \sum_{i=0}^\infty x^i dx\\ =\int \frac{dx}{1-x}\\ \text{令t=1-x}\\ f(x)=\int \frac{d(1-t)}{t}\\ =\int \frac{-dt}{t}\\ =-\ln t\\ =-\ln(1-x)\\ =\ln\frac{1}{1-x} \]