高数一本通

\(高数一本通\)

\(内容\)

• 极限

• 导数

• 微分

• 积分

\(1.极限\)

定义：数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。符号：\(limit\)

\(性质\)

1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。

2、有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。
但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列 ：“\(1，-1，1，-1，……，(-1)^{n+1}\)”

3、保号性：若 \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_n=a>0\)（或<0），则对任何m∈(0,a)（a<0时则是 m∈(a,0)），存在N>0，使n>N时有 （相应的\(x_n\)<m）。

4、保不等式性：设数列{\(x_n\)} 与{\(y_n\)}均收敛。若存在正数N ，使得当n>N时有\(x_n\geq y_n\)，则 \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_n≥\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}y_n\)（若条件换为\(x_n>y_n\)，结论不变）。

5、和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{\(x_n\)} ，{\(y_n\)} 都收敛，那么数列{\(x_n\)+\(y_n\)}也收敛，而且它的极限等于{\(x_n\)} 的极限和{\(y_n\)} 的极限的和。

6、与子列的关系：数列{\(x_n\)} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{\(x_n\)} 收敛的充要条件是：数列{\(x_n\)} 的任何非平凡子列都收敛。

\(Other\)

\(例题\)

\[求\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{n^2+i} \]

\(证明：\)

\[\because \frac{n}{n^2+n}<\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{n^2-i}<\frac{n}{n^2+1} \]

\[又\because \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n^2+n}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=1 \]

\[\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n^2+1}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n^2}}=1 \]

\[\therefore \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{n^2-i}=1 \]

\(2.导数\)

导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点\(x_0\)上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在\(x_0\)处的导数，记作\(f'（x_0）或df（x_0）/dx。\)

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数\(f(x)，x↦f'(x)\)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。

\(性质\)

几何意义

函数\(y=f（x）\)在\(x_0\)点的导数\(f'（x_0）\)的几何意义：表示函数曲线在点\(P_0（x_0,f（x_0））\)处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

\(Other\)

\[1.C'=0 \]

\[2.(ax^n)'=ax^{n-1}\ \ \ (n\not =0) \]

\[3.(a^x)'=a^xlna \]

\[4.(log_ax)'=\frac{1}{xln\ a} \]

\[5.sin'(x)=cos(x)\ \ \ cos'(x)=-sin(x)\ \ \ tan'(x)=sec^2(x) \]

\(例题\)

\[f(x)=(sin(x)+cos(x))^2,求f'(x) \]

\(证明：\)

\[f'(x)=((sin(x)+cos(x))^2)'=(1+2sin(x)cos(x))'=(2sin(x)cos(x))' \]

\[=2(sin(x)cos(x))'=2((sin(x)\times -sin(x))+cos^2(x))=2(2cos^2(x)-1)=4cos^2(x)-2 \]

\(补充：(e^x)'=e^x,见后积分处证明\)

\(3.微分\)

微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。

\(性质\)

\(简单地说，df(x)=f'(x)dx\)

\(Other\)

\[1.df(x)\pm dg(x)=d(f(x)\pm g(x)) \]

\[2.d(f(x)g(x))=f(x)dg(x)+g(x)df(x) \]

\[3.d\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{g(x)df(x)-f(x)dg(x)}{g^2(x)} \]

\[4.d\ cf(x)=c\ df(x) \]

\[5.\frac{df(x)}{dg(x)}=\frac{df(x)}{dw(x)}\ \frac{dw(x)}{dg(x)} \]

\(例题\)

\(无\)

\(4.积分\)

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。

\(术语\)

如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。如同上面介绍的，对于只有一个变量x的实值函数f，f在闭区间\([a,b]\)上的积分记作

\[\int_a^bf(x)dx \]

\(性质\)

\[1.不定积分与微分互为逆运算,\int df(x)=f(x) \]

\[2.设函数f,g可导 \]

\[\because df(x)g(x)=f(x)dg(x)+g(x)df(x) \]

\[\therefore f(x)dg(x)=d(f(x)g(x))-g(x)df(x) \]

\[左右同时积分 \]

\[\therefore \int f(x)dg(x)=f(x)g(x)-\int g(x)df(x) \]

\(Other\)

\[1.若函数f可积，则常数c乘f可积，且\int cf(x)dx=c\int f(x)dx \]

\[2.若函数f,g可积，则f\pm g可积，且\int(f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx \]

\(常见计算方法及值\)

\[1.\int ndx=nx+C \]

\[2.\int x^ndx=\int \frac{x^{n+1}}{n+1}dx+C\ \ \ (n\not =-1) \]

\[3.\int x^{-1}dx=ln|x|+C \]

\[4.\int sin(x)dx=-cos(x)+C \]

\[5.\int cos(x)dx=sin(x)+C \]

\[6.\int n^xdx=\frac{n^x}{ln\ n}+C \]

\[7.\int tan(x)dx=-ln|cos(x)|+C \]

8.常见反三角函数积分及推导

\(例题\)

\[求\int sin^3(x)dx \]

\(证明：\)

\[设t=cos(x) \]

\[\because dcos(x)=-sin(x)dx,sin^3(x)dx=(-sin^2(x))-sin(x)dx \]

\[又\because sin^2(x)+cos^2(x)=1 \]

\[\therefore \int sin^3(x)dx=\int (-sin^2(x))-sin(x)dx=\int (t^2-1)dt=\frac{t^3}{3}-t+C=\frac{cos^3(x)}{3}-cos(x)+C \]

\(补充：\)

\[\int e^xdx=e^x \And (e^x)'=e^x \]

\(证明：\)

\[令t=e^x \]

\[\therefore \int e^xdx=\int td\ ln\ t \]

\[\because (ln\ t)'=\frac{1}{t} \]

\[\therefore d\ ln\ t=\frac{dt}{t} \]

\[\therefore \int td\ ln\ t=\int t\frac{dt}{t}=\int dt=t=e^x \]

\[\because \int e^xdx=e^x \]

\[\therefore (e^x)'=e^x \]