[NOIP2025 T2] 清仓甩卖 题解

P14636 [NOIP2025] 清仓甩卖

不能说是很牛的题目，但是赛时就是没有任何的思路，不知道如何刻画这个不优解的形态，所以还是要认真做一下。

令 \(w_i=1\) 的为一类物品，\(w_i=2\) 的为二类物品。归根到底我们可以发现，选择不优方案当且仅当：有一个性价比较高的一类物品被选择了，导致后面某个性价比没那么高但是价值更高的二类物品无法选择，并且我们还没有办法在后面继续找一个一类物品来弥补损失。具体的，在按照性价比从高到低排序后，我们会选择到 \(\dots x\dots (y)\dots z\)，其中 \(x,z\) 为一类物品，\(y\) 为二类物品，然而这样选不如选择 \(\dots y\dots\)，即 \(a_y>a_x+a_z\)。

既然可以刻画出不合法形态，我们直接对这个形态计数。不妨先将 \(a\) 降序排序，枚举 \(x,y\) 的位置分别为 \(i,j\)，为了满足 \(y\) 比 \(x\) 性价比低，此时要有 \(a_i<2a_j\)。可以将序列划分成几个部分：

其中 \(p\) 为最靠左的 \(p\) 满足 \(a_p<a_i-a_j\)。可以分成：\([1,i-1]\) 中的物品一定被购买（因为 \(j\) 是第一个被创飞的，之前的钱数一定足够，因此 \([1,i-1]\) 中的物品一定在贪心时被购买 ），\(i\) 作为二类物品，\([i+1,j-1]\) 可以选择一类物品购买，而 \((j,p)\) 必须全是二类物品，否则可以从其中选择一个一类物品和 \(j\) 一起结合，得到的 \(a_j+a_k>a_i\)，进而弥补掉 \(i\) 的损失，这是不合法的，因此 \((j,p)\) 一定全是二类物品，而 \(p\) 之后可以随便。

考虑如何计数，可以看做 \([1,i-1]\) 中物品贡献 \(1/2\)，\([i+1,j-1]\) 贡献 \(0/1\)，\(j\) 贡献 \(1\)，使这些的和为 \(m-1\)，这个简单做，先将 \([1,i-1]\) 的调到 \(0/1\)，再先分配 \(1\) 给 \(j\)，变成 \(m-i-1\) 分配给 \(j-2\) 个数，方案数就是 \(\binom{j-2}{m-i-1}\)。而对于 \([p,n]\)，直接 \(2^{n-p+1}\)。综上，我们得到这一组非法结构的贡献为 \(\binom{j-2}{m-i-1}2^{n-p+1}\)。

求和后用 \(2^n\) 容斥掉就是合法方案了。时间复杂度 \(O(n^2)\)。