高中知识学习笔记

数学

诱导公式

奇变偶不变，符号看象限。

\(f(\alpha)=f(\alpha+2\pi)\)，加上 \(\frac{\pi}{2}\) 的奇数倍则 \(f\to f^{-1}\)，偶数倍则 \(f\to f\)。随便挑一个第一象限角 \(\alpha\) 代入看符号。

重要结论：\(\sin \alpha=\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)\)

两角和与差的余弦/正弦公式

余弦：运用 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)，用向量的数量积推导。

\[\cos(\alpha\mp\beta)=\cos\alpha\cos\beta\pm \sin\alpha\sin \beta \]

正弦：运用诱导公式变换，由余弦推导而来

\[\sin(\alpha\pm \beta)=\cos\alpha\sin\beta\pm \sin\alpha\cos\beta \]

辅助角公式

感觉很牛。其问题是：将 \(a\sin x+b\cos x\) 变成 \(A\sin(\omega x+\varphi)\) 的形式。

考虑提出一个 \(t=\sqrt{a^2+b^2}\)，得到

\[t\left(\frac{a}{t}\sin x+\frac{b}{t}\cos x\right) \]

注意到 \(\left(\frac{a}{t}\right)^2+\left(\frac{b}{t}\right)^2=1\)，引入一个辅助角 \(\varphi\)，将 \(\frac{a}{t}\) 用 \(\cos\varphi\) 表示，则 \(\frac{b}{t}\) 可以用 \(\sin\varphi\) 表示，原式变成

\[t(\cos\varphi\sin x+\sin\varphi\cos x) \\ =t\cdot \sin(x+\varphi) \]

于是我们得到辅助角公式：

\[a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sin(x+\varphi) \]

其中 \(\varphi=\arccos \frac{a}{t}\)

两角和与差的正切公式

直接用余弦和正弦代入得到：

\[\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta} \]

倍角公式

\[\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha \\ \cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha \\ \tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \]

化学

电解质

定义： 在水溶液中或熔融状态下可以导电的化合物。

注意化合物说明电解质必然是纯净物。因此单质、溶液并不是电解质。

特例：\(\mathrm{CO_2,SO_2,SO_3,NH_3}\) 等并不是电解质，而是其与水反应形成的 \(\mathrm{H_2CO_3,H_2SO_3,H_2SO_4,NH_3\cdot H_2O}\) 是电解质。

电离方程式

1. 酸的定义： 电离生成的阳离子全部是氢离子的化合物。

\[\ce{HCl \xlongequal{\quad} H^+ + Cl^{-}} \\ \]

2. 碱的定义： 电离生成的阴离子全部是氢氧根离子的化合物。

\[\ce{NaOH \xlongequal{\quad} Na^+ + OH^-} \\ \]

3. 盐的定义： 电离生成金属阳离子（或铵根）和酸根阴离子的化合物。

\[ \ce{FeCl_3 \xlongequal{\quad} Fe^{3+} + 3Cl^-} \\ \ce{NH_4NO_3 \xlongequal{\quad} NH4^+ + NO3^-} \]

4. 强电解质：指在水中可以完全电离的电解质。其在电离方程式书写时使用 \(\xlongequal{\quad}\)。包括：

• 强酸：\(\ce{HCl,H2SO4,HNO3,HClO4,HBr,HI}\)。

• 强碱：\(\ce{NaOH,KOH,Ca(OH)2,Ba(OH)2}\)

• 大多数的盐

5. 弱电解质：指在水中部分电离的电解质。包括：弱酸、弱碱、水。其在电离方程式书写时使用可逆符号 \(\ce{<=>}\)。

\[\ce{CH3COOH <=> CH3COO^{3+} + H^+} \\ \ce{NH3\cdot H_2O <=> NH4^+ + OH^{-}} \\ \ce{HF <=> H^+ + F^-} \]

6. 大多数的多元弱酸酸式酸根不能完全电离，如 \(\ce{HSO3^-},\ce{HCO3^-}\)。

\[\ce{NaHCO3\xlongequal{\quad} Na^+ + HCO3^-} \\ \ce{NaHSO4\xlongequal{水中} Na^+ + H^+ + SO_4^{2-}} \\ \]

离子反应

离子反应：有离子参与或生成的反应。

离子方程式：用实际参加反应的离子符号来表示反应的式子。

书写离子方程式：写拆删(查)

1. 写：化学方程式

\[\ce{AgNO3 + NaCl \xlongequal{\quad} AgCl\downarrow + NaNO3} \]

2. 拆：将易溶于水或易电离的物质写成离子形式，其余用化学式表示

\[\ce{Ag^+ + NO3- + Na+ + Cl- \xlongequal{\quad} AgCl\downarrow + Na+ + NO3-} \]

3. 删：删掉方程式两边不参加反应的离子

\[\ce{Ag^+ + Cl- \xlongequal{\quad} AgCl\downarrow} \]