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高中知识学习笔记

数学

诱导公式

奇变偶不变，符号看象限。

\(f(\alpha)=f(\alpha+2\pi)\)，加上 \(\frac{\pi}{2}\) 的奇数倍则 \(f\to f^{-1}\)，偶数倍则 \(f\to f\)。随便挑一个第一象限角 \(\alpha\) 代入看符号。

重要结论：\(\sin \alpha=\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)\)

两角和与差的余弦/正弦公式

余弦：运用 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)，用向量的数量积推导。

\[\cos(\alpha\mp\beta)=\cos\alpha\cos\beta\pm \sin\alpha\sin \beta \]

正弦：运用诱导公式变换，由余弦推导而来

\[\sin(\alpha\pm \beta)=\cos\alpha\sin\beta\pm \sin\alpha\cos\beta \]

辅助角公式

感觉很牛。其问题是：将 \(a\sin x+b\cos x\) 变成 \(A\sin(\omega x+\varphi)\) 的形式。

考虑提出一个 \(t=\sqrt{a^2+b^2}\)，得到

\[t\left(\frac{a}{t}\sin x+\frac{b}{t}\cos x\right) \]

注意到 \(\left(\frac{a}{t}\right)^2+\left(\frac{b}{t}\right)^2=1\)，引入一个辅助角 \(\varphi\)，将 \(\frac{a}{t}\) 用 \(\cos\varphi\) 表示，则 \(\frac{b}{t}\) 可以用 \(\sin\varphi\) 表示，原式变成

\[t(\cos\varphi\sin x+\sin\varphi\cos x) \\ =t\cdot \sin(x+\varphi) \]

于是我们得到辅助角公式：

\[a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sin(x+\varphi) \]

其中 \(\varphi=\arccos \frac{a}{t}\)

两角和与差的正切公式

直接用余弦和正弦代入得到：

\[\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta} \]

倍角公式

\[\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha \\ \cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha \\ \tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \]

化学

电解质

定义： 在水溶液中或熔融状态下可以导电的化合物。

注意化合物说明电解质必然是纯净物。因此单质、溶液并不是电解质。

特例：\(\mathrm{CO_2,SO_2,SO_3,NH_3}\) 等并不是电解质，而是其与水反应形成的 \(\mathrm{H_2CO_3,H_2SO_3,H_2SO_4,NH_3\cdot H_2O}\) 是电解质。

电离方程式

  1. 酸的定义： 电离生成的阳离子全部是氢离子的化合物。

\[\ce{HCl \xlongequal{\quad} H^+ + Cl^{-}} \\ \]

  1. 碱的定义： 电离生成的阴离子全部是氢氧根离子的化合物。

\[\ce{NaOH \xlongequal{\quad} Na^+ + OH^-} \\ \]

  1. 盐的定义： 电离生成金属阳离子（或铵根）和酸根阴离子的化合物。

\[\ce{FeCl_3 \xlongequal{\quad} Fe^{3+} + 3Cl^-} \\ \ce{NH_4NO_3 \xlongequal{\quad} NH4^+ + NO3^-} \]

  1. 强电解质：指在水中可以完全电离的电解质。其在电离方程式书写时使用 \(\xlongequal{\quad}\)。包括：

  • 强酸：\(\ce{HCl,H2SO4,HNO3,HClO4,HBr,HI}\)。

  • 强碱：\(\ce{NaOH,KOH,Ca(OH)2,Ba(OH)2}\)

  • 大多数的盐

  1. 弱电解质：指在水中部分电离的电解质。包括：弱酸、弱碱、水。其在电离方程式书写时使用可逆符号 \(\ce{<=>}\)。

\[\ce{CH3COOH <=> CH3COO^{3+} + H^+} \\ \ce{NH3\cdot H_2O <=> NH4^+ + OH^{-}} \\ \ce{HF <=> H^+ + F^-} \]

  1. 大多数的多元弱酸酸式酸根不能完全电离，如 \(\ce{HSO3^-},\ce{HCO3^-}\)。

\[\ce{NaHCO3\xlongequal{\quad} Na^+ + HCO3^-} \\ \ce{NaHSO4\xlongequal{水中} Na^+ + H^+ + SO_4^{2-}} \\ \]

离子反应

离子反应：有离子参与或生成的反应。

离子方程式：用实际参加反应的离子符号来表示反应的式子。

书写离子方程式：写拆删(查)

  1. 写：化学方程式

\[\ce{AgNO3 + NaCl \xlongequal{\quad} AgCl\downarrow + NaNO3} \]

  1. 拆：将易溶于水或易电离的物质写成离子形式，其余用化学式表示

\[\ce{Ag^+ + NO3- + Na+ + Cl- \xlongequal{\quad} AgCl\downarrow + Na+ + NO3-} \]

  1. 删：删掉方程式两边不参加反应的离子

\[\ce{Ag^+ + Cl- \xlongequal{\quad} AgCl\downarrow} \]

氧化还原反应（\(\star\)）

定义： 有化合价改变（电子转移）的反应。

氧化剂和还原剂

氧化剂定义： 反应中得电子（所含元素化合价降低）的反应物。

还原剂定义： 反应中失电子（所含元素化合价升高）的反应物。

降得还原氧化剂，升失氧化还原剂。

常见氧化剂：

  1. 非金属单质：\(\ce{O2 , Cl2, Br2}\)

  2. 含有高价态元素化合物：\(\ce{HNO3, KMnO4, MnO2, H2SO4(浓), K2Cr2O7}\)。

  3. 某些金属阳离子：\(\ce{Fe^{3+}, Ag+, Cu^{2+}}\)

  4. 过氧化物：\(\ce{H2O2, Na2O2, CaO2}\)

  5. \(\ce{HClO, ClO-,HNO2}\)

常见还原剂：

  1. 活泼金属单质：\(\ce{K,Ca,Na,Mg,Al,Zn,Fe}\)

  2. 非金属元素的简单阴离子及低价态化合物：\(\ce{S^{2-},I-,CO,SO2,H2SO3,Na2SO3}\)

  3. 低价态金属阳离子：\(\ce{Fe^{2+},Cu+}\)

  4. 非金属单质及氢化物：\(\ce{H2,C,H2S,NH3}\)

  5. 氢元素化合价为 \(-1\) 的化合物：\(\ce{LiH,NaBH4}\)

氧化产物：

还原剂失电子被氧化的产物。

还原产物： 氧化剂得电子被还原的产物。

普遍规律

氧化（还原）剂强弱 大于 氧化（还原）产物

金属活动性越强，则金属单质的还原性越强。

金属单质越容易失去电子、还原性越强，则其失去电子后生成的阳离子越难得到电子，氧化性越弱。

氧化性：\(\ce{K+<Ca^{2+}<Na+<\dots<Fe^{2+}<(H+)<Cu^{2+}<Fe^{3+}<Ag+}\)

钠

最外层只有一个 \(\ce{e-}\)，极易失去电子变成稳定结构，因此金属钠具有强还原性。

与氧气反应：

\[\ce{O2}\left\{\begin{matrix} \ce{4Na + O_2 \xlongequal{\quad} 2Na2O(白色)} \\ \ce{2Na + O_2 \xlongequal{\Delta} 2Na2O2(淡黄色)} \\ \end{matrix}\right. \]

与卤素反应：

\[\ce{(X2 = I2,Cl2,Br2,F2) \quad2Na + X2 \xlongequal{\quad} 2NaX} \]

与水反应：

\[\ce{2Na + 2H2O \xlongequal{\quad} 2NaOH + H2\uparrow} \\ 离: \ce{2Na + 2H2O \xlongequal{\quad} 2Na+ + 2OH- + H2\uparrow} \]

与盐反应（水环境中）：

先和水反应，再复分解。

\[\ce{2Na + 2H2O \xlongequal{\quad} 2NaOH + H2\uparrow} \\ \ce{2NaOH + CuSO4 \xlongequal{\quad} Na2SO4 + Cu(OH)2\downarrow} \\ \]

\[\ce{2Na + 2H2O + CuSO4 \xlongequal{\quad} Na2SO4 + H2\uparrow + Cu(OH)2\downarrow}\\ 离：\ce{2Na + 2H2O + Cu^{2+} \xlongequal{\quad} 2Na+ + H2\uparrow + Cu(OH)2\downarrow} \]

与盐反应（非水环境中）：

\[\ce{4Na + TiCl4 \xlongequal{高温} 4NaCl + Ti} \]

氯

氯气：常温常压下，黄绿色，刺激性气味的有毒气体，密度大于空气。

化合价在 \([-1,+7]\) 间，\(0\) 为中间价态，可以做氧化剂也可以做还原剂，但由于 \(-1\) 为稳定价态，氯气（\(0\) 价）一般呈氧化性。

\(\ce{Cl_2}\) 与金属单质反应：

钠：\(\ce{2Na + Cl2 \xlongequal{\Delta} 2NaCl(白烟)}\)

铁：\(\ce{2Fe + 3Cl2 \xlongequal{\Delta} 2FeCl3(氧化为Fe^{3+})}\)

\(\ce{Cl_2}\) 与非金属单质反应：

\(\ce{H2}\)：\(\ce{H2}\) 在氯气中安静地燃烧，发出苍白色火焰。\(\ce{H2 + Cl2 \xlongequal{\Delta} 2HCl(白雾)}\)

与水反应

\[\ce{Cl2 + H2O <=> HCl + HClO} \\ 离：\ce{Cl2 + H2O <=> H+ + Cl- + HClO(不拆)} \]

其中 \(\ce{HClO}\) 不稳定，遇光易分解：\(\ce{2HClO \xlongequal{光照} 2HCl + O2\uparrow}\)

与碱反应

\[\ce{Cl2 + 2NaOH \xlongequal{\quad} NaCl + NaClO + H2O} \\ 离：\ce{Cl2 + 2OH- \xlongequal{\quad} Cl- + ClO- + H2O} \]

久置会发生变质，遵循弱酸（\(\ce{H2CO3}\)）制更弱酸（\(\ce{HClO}\)）的原理：

\[\ce{NaClO + CO2 + H2O \xlongequal{\quad} NaHCO3 + HClO} \\ 离：\ce{ClO- + CO2 + H2O \xlongequal{\quad} HCO3- + HClO} \]

实验室制法

原理：

\[\ce{MnO2 + 4HCl(浓) \xlongequal{\Delta} MnCl2 + Cl2\uparrow + 2H2O} \\ 离：\ce{MnO2 + 4H+ + 2Cl- \xlongequal{\Delta} Mn^{2+} + Cl2\uparrow + 2H2O} \]

\[\ce{2KMnO4 + 16HCl \xlongequal{\quad} 2MnCl2 + 2KCl + 5Cl2\uparrow + 8H2O} \]

铁

与非金属单质反应

氧化性比 \(\ce{Fe^{3+}}\) 强：\(\ce{ 2Fe + 3Cl2 \xlongequal{点燃} 2FeCl3}\)

氧化性弱：\(\ce{Fe + S \xlongequal{\Delta} FeS}\)

与酸反应（\(\star\)）

与稀硝酸（过量）反应

由于硝酸的强氧化性，会直接氧化为 \(\ce{Fe^{3+}}\)

\[\ce{Fe + 4HNO3(稀)\xlongequal{\quad} Fe(NO3)3 + NO\uparrow + 2H2O} \\ 离: \ce{Fe + NO3- + 4H+ \xlongequal{\quad} Fe^{3+} + NO\uparrow + 2H2O} \]

与稀硝酸（少量）反应

由于 \(\ce{Fe + 2Fe^{3+} \xlongequal{\quad} 3Fe^{2+}}\)

\[\ce{3Fe + 8HNO3(稀)\xlongequal{\quad} 3Fe(NO3)_{\color{red}{2}} + 2NO\uparrow + 4H2O} \\ 离: \ce{3Fe + 2NO3- + 8H+ \xlongequal{\quad} 3Fe^{\color{red}{2+}} + 2NO\uparrow + 4H2O} \]

与浓硫酸、浓硝酸反应

a. 冷、常温下：钝化，迅速反应，迅速生成氧化薄膜。

b. 加热： 不钝化，剧烈反应：

\[\ce{Fe + 6HNO3(浓) \xlongequal{\color{red}{\Delta}} Fe(NO3)3 + 3NO2\uparrow + 3H2O} \\ \ce{2Fe + 6H2SO4(浓) \xlongequal{\color{red}{\Delta}} Fe2(SO4)3 + 3SO2\uparrow + 6H2O} \]

氢氧化物

\(\ce{Fe(OH)2}\) 和 \(\ce{Fe(OH)3}\)

转化： 在空气中，\(\ce{Fe(OH)2}\) 会被非常迅速地氧化成 \(\ce{Fe(OH)3}\)

\[\ce{4Fe(OH)2 + O2 + 2H2O \xlongequal{\quad} 4Fe(OH)3} \]

现象： 白色固体、迅速灰绿、最终红褐。

铁三角

\(\ce{Fe \to Fe^{2+}}\)：弱氧化剂 \(\ce{H+, S, Cu^{2+},Fe^{3+}}\)

\(\ce{Fe \to Fe^{3+}}\)：强氧化剂 \(\ce{Cl2,Br2,HNO3,浓H2SO4}\)

\(\ce{Fe^{2+}\rightarrow Fe^{3+}}\)：强氧化剂 \(\ce{O2,Cl2,Br2,MnO4^-(H+),Cr2O7^{2-}(H+),H2O2(H+)}\)

\[\ce{5Fe^{2+} + MnO4^- + 8H+ \xlongequal{\quad} 5Fe^{3+} + \color{red}{Mn^{2+}} + 4H2O} \\ \ce{6Fe^{2+} + Cr2O7^{2-} + 14H+ \xlongequal{\quad} 6Fe^{3+} + \color{red}{Cr^{3+}} + 7H2O } \\ \ce{2Fe^{2+} + H2O2 + 2H+ \xlongequal{\quad} 2Fe^{3+} + 2H2O} \]

\(\ce{Fe^{2+}}\) 和 \(\ce{Fe^{3+}}\) 的鉴别

鉴别方法 \(\ce{Fe^{2+}}\) \(\ce{Fe^{3+}}\) 化学方程式
直接观色 浅绿色 黄色 \(\text{---}\)
与 \(\ce{KSCN}\) 溶液 \(\text{---}\) (血)红色 \(\text{---}\)
用 \(\ce{KI}\) - 淀粉溶液（利用 \(\ce{Fe^{3+}}\) 的氧化性） \(\text{---}\) 变蓝 \(\ce{2Fe^{3+} + 2I^- \xlongequal{\quad} 2Fe^{2+} + I2}\)
与酸性 \(\ce{KMnO4}\) 溶液（利用 \(\ce{Fe^{2+}}\) 的还原性） 紫色褪去 \(\text{---}\) \(\ce{5Fe^{2+} + MnO4^- + 8H+ \xlongequal{\quad} 5Fe^{3+} + Mn^{2+} + 4H2O} \\\)
与 \(\ce{NaOH}\) 溶液 白色沉淀，迅速灰绿，最终红褐 红褐色沉淀 \(\ce{Fe(OH)2 v, Fe(OH)3 v}\)
与铁氰化钾（\(\ce{K3[Fe(CN)6]}\)） 蓝色沉淀 \(\text{---}\) \(\ce{Fe3[Fe(CN)6]2 v}\)

检验有 \(\ce{Fe^{2+}}\) 没有 \(\ce{Fe^{3+}}\)：先加 \(\ce{KSCN}\) 不变红（没有 \(\ce{Fe^{3+}}\)），再加氧化剂（\(\ce{H2O2,Cl2水}\)），又变红。

posted @ 2026-02-13 13:28  STDJCY  阅读(26)  评论(0)    收藏  举报