P16793 [蓝桥杯 2026 国 B] 玩具青蛙 题解

题目大意

求数列 \(S=\begin{aligned} \frac{1}{1\times3}+\frac{1}{3\times5}+⋯+\frac{1}{4051\times4053}\end{aligned}\) 的值的最简分数形式的分母分子之和。

算法分析

一道小学数学题，就是分数裂项，分数裂项具体是这样的：一个分数记为 \(\begin{aligned} \frac{x}{y}\end{aligned}\)，如果 \(y=a\times b\) 且 \(b-a=x\)，那么 \(\begin{aligned} \frac{x}{y}=\frac{x}{a\times b}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\end{aligned}\)。

为啥呢？其实很简单，首先通分一下两分数变成 \(\begin{aligned}\frac{b}{a\times b}\end{aligned}\) 和 \(\begin{aligned}\frac{a}{a\times b}\end{aligned}\)，再一减就变成 \(\begin{aligned}\frac{b-a}{a\times b}\end{aligned}\)，又因为两条性质，所以相等。

以下是裂项过程。

\(\begin{aligned} S &= \frac{1}{1\times3}+\frac{1}{3\times5}+⋯+\frac{1}{4051\times4053} \\&= \frac{1}{2}\left(\frac{2}{1\times3}+\frac{2}{3\times5}+⋯+\frac{2}{4051\times4053}\right)\\&= \frac{1}{2}\left( \frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+⋯+\frac{1}{4051}-\frac{1}{4053} \right) \\&= \frac{1}{2}\left( \frac{1}{1}-\frac{1}{4053} \right) \\&= \frac{1}{2}\times\frac{4052}{4053} \\&= \frac{2026}{4053} \end{aligned}\)

所以答案就是 \(2026+4053\)。