堆

1. 放在前面

这里会先讲手打模板，可以直接翻到最后（所以本篇博客不长）。

2. 什么是堆

优先队列是堆！
堆就是用来维护序列中最“大”的一个数据结构。注意这里的“大”指的是最怎么样的数据，而不是意义上的“最大”。例如最大、最小。

3. 堆的性质

• 堆是一棵完全二叉树
• 这棵完全二叉树的根节点（或称堆的顶点）就是最“大”的那个数据结构。

4. 手写【模板】堆

先奉上例题：【模板】堆
题目要求维护查询、插入、删除三种操作。分别来写：
- 定义
由于是一棵完全二叉树，可以使用数组存储法。
定义就是：

int a[1000001],w=0;

w是用来存储树的长度的。

• 查询
  根据堆的性质二，堆的根节点为a[1]，注意判断有没有根节点。
  代码：

int find()
 {
         return a[1];
 }

同理，返回长度可以直接返回w

• 插入
  为了维护堆的性质一的性质，我们将新插入的点插到最后。
  然而，这样很有可能会破坏堆的性质二。
  所以每次将它和父亲节点比较一下，是不是比父亲节点小，是就交换。
  注意：根节点不用再交换了
  代码：

void pushx(int x)
 {
         if(x==1||a[x/2]<a[x]) return;
         swap(a[x/2],a[x]);
         pushx(x/2);
 }
 void push(int x)
 {
          a[++w]=x;
          pushx(w);
 }

• 删除
  为了保证堆是一棵完全二叉树，我们不能直接删除根，得先将其与最后一个节点交换。
  然后你会发现它又不是堆，因为破坏了堆的性质二。
  所以你得将根节点一路“下沉”，直到它小于他的两个儿子。
  代码：

void popx(int x)
 {
         if(x*2>w) return;
         int now=2*x;
         if(x*2+1<=w)
             now=a[x*2]<a[x*2+1]?x*2:x*2+1;
         if(a[x]>a[now])
         {
             swap(a[x],a[now]);
             popx(now);
         }
 }
 void pop()
 {
         swap(a[1],a[w--]);
         popx(1); 
 }

• 完整代码

#include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 int a[1000001],w=0;
 //查询，代码略
 //插入，代码略
 //删除，代码略
 int main()
 {
            int n;
            cin>>n;
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {
                int op;
                cin>>op;
                if(op==1)
                {
                    int x;
                    cin>>x;
                    push(x);
                }
                if(op==2) cout<<find()<<endl;
                if(op==3) pop();
            }
            return 0;
 }

5. 时间复杂度

查询时间复杂度必定为 $O(1)$。
插入和删除最坏情况下要爬一遍树，但因为堆是完全二叉树，所以时间复杂度为 $O(\log n)$。

6. 堆排序

堆排序很简单：先将所有数字压入堆，再将所有数字踢出去并输出。
代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1000001],w=0;
//此处为find,pop,push,popx,pushx，代码略
int main()
{
        int n;
        cin>>n;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int x;
            cin>>x;
            push(x);
        }
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            cout<<find();
            pop();
        }
}

堆排序时间复杂度 $O(n \log n)$

7. STL【模板】堆

例题不变，我们用STL的话就是priority_queue。
专门有一篇博客哦！link