区间DP&环形DP

区间DP是啥？

就是一种高级的DP。先看例题：

1. 区间DP例题：合并石子

按照之前的DP，很容易想到定义 $f_i$ 表示堆前 $i$ 个的最优解。但这行得通吗？
可以想到，$f_{i\sim j}$ 是没法维护的（只维护了前缀），故定义 $f_{i,j}$ 表示第 $i$ 到 $j$ 个的最优解。
我们知道，合并 $i\sim j$，是需要先计算出所有 $i\sim k,k\sim j$ 的答案。而如果只写：

for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=n;j++)

是无法保证长度的。
所以先枚举长度

for(int l=2;l<=n;l++)
    for(int i=1;i+l-1<=n;i++)
    {
    	int j=i+l-1;
        DP;
    }

接着，计算最优解。

for(int l=2;l<=n;l++)
    for(int i=1;i+l-1<=n;i++)
    {
    	int j=i+l-1,s=sum[j]-sum[i-1];
    	for(int k=i;k<j;k++)
    		dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+s);
    }

时空复杂度很简单：分别是 $O(n^3),O(n^2)$。

所以区间DP是啥呢？就是求区间最优解。他需要长度从小到大才能维护。

2. 环形DP例题：石子合并

题意不变，只是改成了一圈。
如果将 $a_i$ 复制一遍，即 $a_i=a_{i-n}$，就可以看成是 $n$ 个。这 $n$ 个区间就是环的 $n$ 种展开方式。
即先复制，再DP。

环形DP核心：复制。

3. 搞基环形DP

但环形DP必须复制吗？比如这道题：诗意
可以复制，但还有更简单的办法。
如果记 $s=\sum a_i$，如果 $x=\sum\limits^r_{l=1} a_i$ 是能截取的到的最小区间，那么最大的一定是 $s-x$。
故 $O(n)$ 解决（孑孓）。