数论（自学）

零、说在前面

0.1 感谢

感谢百度百科、oi-wiki、洛谷的题目。

0.2 阅读前须知

作者很菜，不要看。如果有错误，私信即可，一周内回。

一、抽屉原理

1.1 第一抽屉原理

原理1： 把 $n+k$ 个物体放到 $n$ 个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。
证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是 $n×1$，而不是题设的 $n+k(k≥1)$，故不可能。
原理2：把多于 $mn+1(n\ne 0)$ 个的物体放到 $n$ 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于 $(m+1)$的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉至多放进 $m$ 个物体,那么 $n$ 个抽屉至多放进 $mn$ 个物体,与题设不符，故不可能。
原理3：把无数多件物体放入 $n$ 个抽屉，则至少有一个抽屉里有无数个物体。
原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。

1.2 第二抽屉原理

把 $(mn－1)$个物体放入 $n$ 个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有 $(m-1)$ 个物体。

例题：天选之人（？）、取模

二、集合

2.1 定义

把一些单独的物体（数、坐标、函数、集合）合起来看成一个整体，就形成一个集合(或集)

2.2 集合的特点

确定性、互异性、无序性

2.3 集合的表示

大写字母，如集合 $A,B,X$。

2.4 属于与不属于

若 $a$ 属于集合 $A$，记做 $a\in A$。
若 $a$ 不属于集合 $A$，记做 $a\not \in A$。

2.5 集合的表示

• 列举法
  列举法就是将集合的元素逐一列举出来的方式。如 $\{1,14,51,4\},\{\varnothing,\{1,14,51,4\},\{(1,1),(2,2)\},1.14\}$
• 描述法
  描述法的形式为{代表元素|满足的性质}。如所有满足大于 $114$ 数的集合表示为 $\{x|x>114\}$
• 图像法
  又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法。如图：
• 区间法
  用数轴、无穷大、无穷小、开区间、闭区间 、半开半闭区间表示。
  无穷大：$+\infty$；无穷小：$-\infty$。
  开区间：$(a,b)$。闭区间：$[a,b]$。左闭右开：$[a,b)$，右闭左开：$(a,b]$。
  开的那一边不包括数。如 $(114,514)$ 不包括 $114,514$。
• 符号法
  $N$：非负整数集合或自然数集合 $\{0,1,2,3,…\}$
  $N^*$ 或 $N^+$：正整数集合 $\{1,2,3,…\}$
  $Z$：整数集合 $\{…,-1,0,1,…\}$
  $Q$：有理数集合
  $Q+$：正有理数集合
  $Q-$：负有理数集合
  $R$：实数集合(包括有理数和无理数）
  $R+$：正实数集合
  $R-$：负实数集合
  $C$：复数集合
  $\varnothing$ ：空集（不含有任何元素的集合）

2.6 集合基本关系

• 子集与真子集
  • 子集
    设 $S,T$ 是两个集合，如果 $S$ 的所有元素都属于 $T$ ，则称 $S$ 是 $T$ 的子集，记为 $S\subseteq T$ （读作S包含于T)
    一些显然性质：$S\subseteq S,\varnothing \subseteq S$。
  • 真子集
    若 $S\subseteq T$ 且 $T$ 有一个元素 $x$ 满足 $x\not \in S$，则称 $S$ 是 $T$ 的真子集。
• 交集与并集
  交集定义：由属于A且属于B的相同元素组成的集合，记作$A\bigcap B$（或 $B\bigcap A$ ），读作“A交B”（或“B交A”），即$A\bigcap B=\{x|x∈A,\texttt且x∈B\}$。
  
  并集定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作 $A\bigcup B$（或 $B\bigcup A$），读作“A并B”（或“B并A”），即 $A\bigcup B=\{x|x∈A,\texttt或x∈B\}$。
• 相等集合
  如果集合A是集合B的子集（$A\subseteq B$），且集合B是集合A的子集（$B\subseteq A$），则集合A与集合B相等。
• 补集
  • 相对补集
    由属于 $A$ 而不属于 $B$ 的元素组成的集合，称为B关于A的相对补集，记作 $\complement_{A}B$ ，即 $\complement_{A}B=\{x|x∈A,\texttt且x∉B\}$。
  • 绝对补集
    $A$ 关于全集合 $U$ 的相对补集称作 $A$ 的绝对补集，记作 $\complement_{U}A$。
• 幂集
  设有集合 $A$，由集合 $A$ 所有子集组成的集合，称为集合 $A$ 的幂集。
  对于幂集有定理如下：有限集 $A$ 的幂集的基数等于 $2$ 的有限集 $A$ 的基数次幂。即若 $A$ 的元素数量为 $x$，则幂集的元素数量为 $2^x$。

三、一一对应

前置知识：映射

• 定义：两个非空集合 $A$ 与 $B$ 间存在着对应关系 $f$，而且对于 $A$ 中的每一个元素 $a$，$B$ 中总有唯一的一个元素 $b$ 与它对应，就这种对应为从 $A$ 到 $B$ 的映射，记作 $f:A→B$。其中，$b$ 称为元素 $a$ 在映射 $f$ 下的像，记作：$b=f(a)$。$a$ 称为 $b$ 关于映射 $f$ 的原像。集合A中所有元素的像的集合称为映射 $f$ 的值域，记作 $f(A)$。

一一对应：对于任意的 $f:A\to B$，有 $B$ 的任何元素都不能与 $A$ 的多个元素配对。

四、错排公式

错排问题（伯努利-欧拉的装错信封的问题）：有 $n$ 封信，$n$ 个邮箱，第 $i$ 封信对应第 $i$ 个邮箱。问所有信都投错的方案数是多少？

递推公式：$T_n=(n-1)(T_{n-1}+T_{n-2})$。

推导：

1. 将元素 $n$ 放到第 $k(k\ne n)$ 个位置，有 $n-1$ 种办法。
2. 若此时将元素 $k$ 放到第 $n$ 个位置，有 $(n-1)T_{n-2}$ 种方案数；若此时将元素 $k$ 不放到第 $n$ 个位置（此时 $k$ 相当于 $n$），有 $(n-1)T_{n-1}$ 种方案数。
3. 综上，$T_n=(n-1)(T_{n-1}+T_{n-2})$。

错排问题的通项公式见5.5。

五、容斥原理

5.1 引入

七（7）班中，有 $n$ 人玩原神，$m$ 人玩MC，$k(k\le n \texttt且 k\le m)$ 人两款游戏都玩，全班至少玩这两款游戏之一，问全班多少人？
显然有 $n+m-k$ 人。

5.2.1 经典容斥原理 - 1

经典例题：有集合 $A,B$，求其并集大小。
很容易想到 $|A\bigcup B|=|A|+|B|-|A\bigcap B|$。原理如下：

1. 答案加上 $|A|+|B|$，有：
   
2. 显然多了 $|A\bigcap B|$，减去即可。

5.2.2 经典容斥原理 - 2

经典例题：有集合 $A,B,C$，求其并集大小。
同“五-2”，答案为 $|A\bigcup B\bigcup C|=|A|+|B|+|C|-|A\bigcap B|-|A\bigcap C|-|B\bigcap C|+|A\bigcap B\bigcap C|$。

5.3 容斥原理通项

例题：有集合 $A_1\sim A_n$，求其并集大小。

$$\begin{aligned} \left|A_1\bigcup A_2 \bigcup\cdots\bigcup A_n\right|&=\sum\limits_{1\le i\le n} \left|A_i\right|-\sum\limits_{1\le i\le j\le n} \left|A_i\bigcap A_j\right|+\sum\limits_{1\le i\le j\le k\le n} \left|A_i\bigcap A_j\bigcap A_k\right|-\cdots+(-1)^n \left|A_1\bigcap A_2\bigcap \cdots\bigcap A_n\right|\\ &=\sum\limits^{n}_{k=1}(-1)^{k+1}\sum\limits_{1\le i_1\le i_2\le \cdots\le i_k}\left|A_{i_1}\bigcap A_{i_2}\bigcap\cdots\bigcap A_{i_n}\right| \end{aligned}$$

练习：出生点

5.4 二维前缀和

二维前缀和的本质是容斥原理

$$s_{i,j}=s_{i,j-1}+s_{i-1,j}-s_{i-1,j-1}+a_{i,j}$$ $$\sum_{i = xb}^{xe} \sum_{j = yb}^{ye}a_{i,j}=s_{xe,ye}+s_{xb-1,yb-1}-s_{xb-1,ye}-s_{xe,yb-1}$$

5.5 错排问题通项

正整数 $1,2,3,\cdots,n$ 的全排列有 $n!$ 种，其中第 $k$ 位是 $k$ 的排列有 $(n-1)!$ 种，由于所求的是错排的种数，所以应当减去这些排列；但是此时把同时有两个点放对位置的排列多排除了一次，应补上；在补上时，把同时有三个数不错排的排列多补上了一次，应排除；……；继续这一过程，得到错排的排列种数为

$$T_n=n!+\dfrac{n!}{1!}-\dfrac{n!}{2!}+\cdots+(-1)^n\dfrac{n!}{n!}=\sum\limits^n_{i=2}\dfrac{(-1)^i\times n!}{i!}$$

提出一个 $n!$，有 $T_n=n!\sum\limits^n_{i=2}\dfrac{(-1)^i}{i!}$

六、康拓展开

七、排列数与组合数

7.1 排列数

• 定义
  从 $n$ 个不同元素中，任取 $m(m≤n)$ 个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个排列；
  从 $n$ 个不同元素中取出 $m(m≤n)$ 个元素的所有排列的个数，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的排列数，记作 $A^m_n$。
• 计算

$$\begin{aligned} A^m_n&=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots\times (n-m+1)\\ &=\dfrac{n!}{(n-m)!} \end{aligned}$$

7.2 组合数

• 定义
  从 $n$ 个不同元素中，任取 $m(m≤n)$ 个元素并成一组，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个组合；
  从 $n$ 个不同元素中取出 $m(m≤n)$ 个元素的所有组合的个数，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的组合数，记作 $C^m_n$。
• 计算

$$\begin{aligned} C^m_n&=\dfrac{A^m_n}{A_m^m}\\ &=\dfrac{n!}{(n-m)!\times m!} \end{aligned}$$

• 注明
  $C_n^m$ 有时写作 $\begin{pmatrix} n\\m \end{pmatrix}$

7.3 组合数性质

• 互补性

$$C^m_n=C^{n-m}_n$$

• 递推公式
  推导过程：假设已知 $C^{k}_{n-1}$，那么对于 $C^m_n$ 来说，要么多增加的那一个拿，要么不拿。故：

$$C^m_n=C^m_{n-1}+C^{m-1}_{n-1}$$

• 帕斯卡法则
  推导过程：略。

$$C^{n-1}_{k}+C^{n-1}_{k-1}=C^n_k$$

7.4 计数方法

• 加法原理
  一件事有 $n$ 种 方法，每种方法有 $a_i$ 种办法，这件事完成的方案数为 $\sum a_i$。
• 乘法原理
  一件事有 $n$ 步 要做，每一步拥有 $a_i$ 种方法，这件事完成的方案数为 $\prod a_i$。

7.5 捆绑法、插空法

• 捆绑法用来处理相邻问题。在排列计数问题中，把需要相邻的元素“捆绑”在一起，视作一个元素参与排列。注意点:捆绑的元素最后还要“解绑”，把捆在一起的几个元素进行排列。
• 插空法用来处理不相邻问题。不能相邻的元素通常最后参与排列，通过插空的方式放在已排的元素之间。

7.6 隔板法

• 隔板法用来将相同的元素分组，并且每组至少有一个元素。

八、二项式定理

8.1 二项式定理

$$(x+y)^n=\sum\limits_{i=\color{red}0}^n(C_n^i\times x^i\times y^{n-i})$$

或表示为

$$(x+y)^n=[x^0\hspace{0.3cm}\cdots\hspace{0.3cm}x^n]\begin{bmatrix} C^0_n & & \\ & \ddots & \\& & C^n_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} & & 1\\ & \cdots & \\1 & & \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b^0\\ \vdots \\b^n \end{bmatrix}$$

8.2 二项式定理的简单推导

$$(x+y)^1=x+y$$ $$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$$ $$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^2$$ $$\cdots$$ $$(x+y)^n=\sum\limits_{i=0}^n(C_n^ix^iy^{n-i})$$

8.3 二项式定理的严谨推导

• 组合证法
  设 $a_1\sim a_n$ 满足：

$$\begin{aligned}(x+y)^n&=\underbrace{(x+y)\times (x+y)\times (x+y)\times (x+y)\times\cdots \times (x+y)}_{n\texttt{个}(x+y)}\\ &=a_1x^n+a_2x^{n-1}y+a_3x^{n-2}y^2+\cdots+a_ny^n \end{aligned}$$

对于 $i$ 项，如果要求出 $a_i$ 那么就在这 $n$ 个 $(x+y)$ $\color{red}\texttt{组合}$。由于需要选出 $i$ 个 $x$ 出来，所以 $a_i=C_n^i$。

• 数学归纳法
  易得 $m=1$ 时，此时成立。
  如果对于 $m=n$ 时，二项式定理成立。
  那么在 $m=n+1$ 时，

$$\begin{aligned}(x+y)^{n+1}&=x(x+y)^n+y(x+y)^n\\ &=x\sum\limits_{i=0}^n(C_n^ix^iy^{n-i})+y\sum\limits_{i=0}^n(C_n^ix^iy^{n-i})\\ &=\sum\limits_{i=0}^n(C_n^ix^{i+1}y^{n-i})+\sum\limits_{i=0}^n(C_n^ix^iy^{n-i+1})\\ &=\sum\limits_{i=0}^n(C_n^ix^{i+1}y^{n-i})+\sum\limits_{i=1}^n(C_n^ix^iy^{n-i+1})+y^{n+1}\\ &=\sum\limits_{i=1}^{n+1}(C_{n}^{i-1}x^{i}y^{n-i+1})+\sum\limits_{i=1}^n(C_n^ix^iy^{n-i+1})+y^{n+1}\\ &=x^{n+1}+y^{n+1}+\sum\limits_{i=1}^{n}(C_{n}^{i-1}x^{i}y^{n-i+1})+\sum\limits_{i=1}^n(C_n^ix^iy^{n-i+1})\\ &=x^{n+1}+y^{n+1}+\sum\limits^n_{i=1}(C^{i-1}_n+C^{i}_n)(x^iy^{n-i+1})\\ &=x^{n+1}+y^{n+1}+\sum\limits^n_{i=1}(C^i_{n+1}x^iy^{x-i+1}){\texttt{\color{red}(帕斯卡法则)}}\\ &=\sum\limits_{i=0}^m(C_m^ix^iy^{m-i}) \end{aligned}$$

所以对于 $n\in N^+$，有 $(x+y)^n=\sum\limits_{i=0}^n(C_n^ix^iy^{n-i})$。

8.4 杨辉三角

杨辉三角：

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
......

对于第 $i$ 行第 $j$ 个数，有 $y(i,j)=y(i-1,j-1)+y(i-1,j),y(i,1)=y(i,i)=1$。
可以发现，对于任意的 $y(i,j)$，值为 $C_i^j$。
所以杨辉三角又称作组合数表。

8.5 一些常用的式子

• $\sum C_n^i=2^n$。
• $\sum C_n^ia^i=(a+1)^n$。
• $\sum (C_n^i)^2=C_{2n}^n$

例题：Necklace

九、卡特兰数

9.1 卡特兰数的定义

• 卡特兰数的定义
  对于在 $n$ 位的 $2$ 进制中，满足有 $m$ 个 $0$，其余为 $1$ 的数的个数。
  前几个卡特兰数：

$$1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...$$

• 递推公式
  定义 $h(i)$ 为卡特兰数第 $i$ 项。则：

$$h(n+1)=h(n)h(0)+h(n-1)h(1)+\cdots+h(0)(n)$$

即

$$h(n)=\sum\limits^{n-1}_{i=0}h(i)h(n-i)$$

还可以写作：

$$h(n)=\dfrac{h(n-1)(4n-2)}{n+1}$$

• 通项公式

$$h(n)=\dfrac{C_{2n}^n}{n+1}\hspace{0.5cm}(n\in N)$$ $$h(n)=C^n_{2n}-C^{n-1}_{2n}$$

9.2 c++求卡特兰数

void catalan() //求卡特兰数
{
    int i, j, len, carry, temp;
    a[1][0] = b[1] = 1;
    len = 1;
    for(i = 2; i <= 100; i++)
    {
        for(j = 0; j < len; j++) //乘法
        a[i][j] = a[i-1][j]*(4*(i-1)+2);
        carry = 0;
        for(j = 0; j < len; j++) //处理相乘结果
        {
            temp = a[i][j] + carry;
            a[i][j] = temp % 10;
            carry = temp / 10;
        }
        while(carry) //进位处理
        {
            a[i][len++] = carry % 10;
            carry /= 10;
        }
        carry = 0;
        for(j = len-1; j >= 0; j--) //除法
        {
            temp = carry*10 + a[i][j];
            a[i][j] = temp/(i+1);
            carry = temp%(i+1);
        }
        while(!a[i][len-1]) //高位零处理
        len --;
        b[i] = len;
    }
}

by 百度百科

9.3 卡特兰数的应用

• 出栈序列数
• 购票问题

十、欧拉筛

10.1 质数

• 只能被 $1$ 和自己整除的数,称为质数
• 当 $N$ 充分大时，$1$ ~ $N$ 范围内的质数个数约为 $\dfrac{N}{\log N}$。
• 在某个正整数 $N$ 附近找质数，能够在 $\log N$ 期望时间内发现一个质数。
• 如何判断一个整数 $n$ 是否为质数：$2$ 到 $\sqrt{n}$ 试除，发现约数则不是质数，复杂度 $O(\sqrt{n})$
• $a$ 和 $\dfrac{n}{a}$ 中至少有 $1$ 个数不超过 $\sqrt{n}$，完全平方数的情况 $2$ 个数都等于 $\sqrt{n}$。

10.2 筛法（埃式筛）

• 从小到大，依次将每个质数的倍数删去（若遍历到一个数时，其没有被删去，则可知这个数是质数），最终留下的全是质数。

f[1]=false;
for(int i=2;i<=n;i++) f[i]=true;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
        if(f[i]==true)
            for(long long j=(long long)i*i;j<=n;j+=i)
                f[j]=false;
}

• $j$ 从 $i\times i$ 开始是因为 $2\times i$、$3\times i$ 等数字在 $i=2,i=3$ 的时候已经被枚举过了。
• 时间复杂度 $O(n\log\log n)$。

10.3 筛法（欧拉筛）

• 数字 $30$ 还是被筛了多次（$3\times 10、2\times15、5\times 6$）。如果能保证每个合数都只被它的最小质因数筛掉就好了。
  比如 $2$ 筛掉 $4、6、8、10、12\cdots$
  比如 $3$ 筛掉 $9、15、21\cdots$
  比如 $5$ 筛掉 $25、35、55\cdots$
• 我们记求解到 $i$ 的质数数组为 $p$，则对于每个数字 $i$，我们希望 $i\times p_1、i\times p_2$ 等数字都被筛掉。这样一定是能筛干净的，因为合数 $a=$ 某个质数 $b\times$ 另一个数 $c$，我们一定能在枚举到每个合数前，枚举到比它小的 $c$，这样当 $p_j=b$ 时，$a$ 就被干掉了。
• 每个合数还是没有只被它的最小质因数筛。
• 如 $60$，被 $3\times 20$干掉一次，被 $15\times 4$干掉一次。

f[1]=false;
for(int i=2;i<=n;i++) f[i]=true;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
        if(f[i]==true) p[cnt++]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++)
            f[p[j]*i]=false;
}

• 内层循环加上一句if(i%p[j]==0)break;即可。为什么？
• 此时，比 p[j] 小的质数 p[k] 不满足 p[k] $|i$，且 $i$ 的所有质因数肯定都比 p[j] 大，因为如果有小的那 $j$ 早就被停在前面了。故被筛掉的 $i\times$ p[k] 的最小质因数肯定是 p[k]。
• 同理可证，设有比 p[j] 大的质数 p[l] ，则删 p[l] $\times i$ 一定会出现重复，因为假设 p[l] $\times i /$ p[j] 是 $x$，当 $i$ 枚举到 $x$ 时候，$x\times$ p[j] 又会把这个数字筛一次。
• 时间复杂度 $O(n)$。

f[1]=false;
for(int i=2;i<=n;i++) f[i]=true;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
        if(f[i]==true) p[cnt++]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++)
        { 
            f[p[j]*i]=false;
            if(i%p[j]==0)break;
        }
}

十一、逆元

11.1 逆元

若 $a,x,p$ 满足式子：

$$ax\equiv 1 \pmod p$$

则称 $x$ 是模 $p$ 意义下 $a$ 的逆元。记作 $x=a^{-1}$。

12.1 求逆元

• exGCD法
  详见12.3
• 快速幂法
  详见17.？
• 线性求 $1\sim n$ 逆元
  证明详见 oi.wiki

inv[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
  	inv[i] = (long long)(p - p / i) * inv[p % i] % p;
}

by oi-wiki

• 线性求 $a_1\sim a_n$ 的逆元
  详见12.4

十二、exGCD（扩展欧几里得）

12.0 不定方程

已知有多个个未知数，$1$ 个方程，我们称其为不定方程。

不定方程组同理。

12.1 扩展欧几里得是什么？

关于 $x,y$ 的不定方程的一组解：

$$ax+by=\gcd(a,b)$$

12.2 求解方程

• 代码实现

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
   if(b == 0)
   {
      x = 1, y = 0;
      return ;
   }
   exgcd(b, a % b, y, x);
   y -= a / b * x;
}

12.3 exGCD 求逆元

可以从 $ax \equiv x\pmod{p}$ 这个式子入手。很容易发现，它和 $\exists y,ax+py=1$ 等价。( $\exists$ 表示存在)而这个式子就是一个关于 $a,p$ 的不定方程，就可以用扩展欧几里得算法来解决。并由裴蜀定理，可以发现 $a$ 在模 $p$ 意义下逆元当且仅当 $\gcd(a,p)=1$ ， $a$ 和 $p$ 互质，即 $a\perp p$。

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
   if(b == 0)
   {
      x = 1, y = 0;
      return ;
   }
   exgcd(b, a % b, y, x);
   y -= a / b * x;
}
int inv(int a, int p)
{
   int x, y;
   exgcd(a, p, x, y);
   return x;
}

12.4 exGCD求 $a_1\sim a_n$ 的逆元

记 $p_i=\prod\limits _{j=1}^{i} a_j$。

那么我们可以用exGCD求出 ${p_i}^{-1}$，记作 $v_i$。

此时 $v_i\times a_n={ \begin{pmatrix} \prod\limits_{i=1}^{n-1}a_i \end{pmatrix}} ^{-1}$，记作 $v_{i-1}$，同理，可以求出 $v_1\sim v_n$。

则 ${a_i}^{-1}=v_i\times p_{i-1}$

12.5 exGCD求 $\dfrac{a}{b}\bmod p$

设 $\dfrac{a}{b}\equiv x\pmod p$

那么 $a\equiv bx\pmod p$

记 $x'=\dfrac{x}{a}$，那么 $bx'\equiv 1\pmod p$。

这个方程是可以解的。最终 $x=ax'$。

十三、中国剩余定理

13.0 中国剩余定理的来源

「物不知数」问题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

该问题最早见于《孙子算经》中，并有该问题的具体解法。宋朝数学家秦九韶于 1247 年《数书九章》卷一、二《大衍类》对「物不知数」问题做出了完整系统的解答。上面具体问题的解答口诀由明朝数学家程大位在《算法统宗》中给出：

三人同行七十希，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知。

13.1 线性同余方程组

给定 $n$ 个线性同余方程：

$$\begin{cases}x\equiv a_1\pmod {m_1}\\x\equiv a_2\pmod {m_2}\\\cdots\\x\equiv a_n\pmod {m_n}\end{cases}$$

$m_i$ 两两互质，求 $x$ 的通解。

13.2 中国剩余定理（CRT）

记 $M=\prod m_i$，$M_i=\dfrac{M}{m_i}$，$t_i$ 是在 $M_i$ 在模 $m_i$ 意义下的逆元。

则：

$$x=kM+\sum_{i=1}^{n} a_it_iM_i$$

13.3 扩展中国剩余定理（exCRT）

如果 $m_i$ 两两不互质，那么就不能使用 CRT 了。

那什么是 exCRT 呢？

如果我们知道两个同余方程，将其合并成一个，这样就可以一个接着一个合并了。

见?

十四、裴蜀定理

方程 $ax+by=c$ 有解当且仅当 $\gcd(a,b)|c$。

十五、数论分块

十六、同余与剩余系

十七、费马小定理

lhq：费马小

费马小定理：如果质数 $p$ 满足 $a\bot p$，则 $a^{p-1}\equiv 1\pmod p$

• 另一个形式：对于任意整数 $a$，$a^p\equiv a\pmod p$

总所周知，费马小也是可以求逆元的。