组合数学

1. 加法原理与乘法原理

分类用加法。

分步用乘法。

2. 排列组合

2.1 排列数

排列数的定义：从 $n$ 个物体选出 $r$ 个物体（有序）的方案数。

记作 $A_n^r=n\times (n-1)\times \cdots\times (n-r+1)$。

2.2 组合数

组合数的定义：从 $n$ 个物体选出 $r$ 个物体（无序）的方案数。

记作 $C_n^r=\dfrac{A_n^r}{r!}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}=\dbinom nr$。

一般写作 $\dbinom nr$。

2.3 其他计数方法

• 捆绑法
  例：$7$ 人站一排，甲乙站一起，丙丁站一起，问排法数。

$2\times2\times A_5^5=480$。

• 隔板法
  例：$4$ 个舞蹈节目，$2$ 个相声节目，$3$ 个独唱节目，舞台节目不连续出场，问出场顺序数？

$A_5^5\times A_6^4=43200$。

• 环形计数
  例：$8$ 人围桌坐，问坐法数？

$8!\div 8=7!$。

• 可重集计数
  例：有 $n$ 类东西，每种 $a_i$ 个，问其排列种数。

$\dfrac{(\sum a_i)!}{\prod a_i!}$。

3. 组合数的计算

3.1 递推

假设已知 $C^{k}_{n-1}$，那么对于 $C^m_n$ 来说，要么多增加的那一个拿，要么不拿。故：

$$C^m_n=C^m_{n-1}+C^{m-1}_{n-1}$$

3.2 逆元

$$\dfrac{n!}{m!(n-m)!}\bmod p=n!(m!(n-m)!)^{-1}\bmod p$$

（别忘了 $a^{-1}$ 是逆元）

3.3 吸收恒等式

$$C^r_n=\dfrac{n}{r}C_{n-1}^{r-1}$$

3.4 组合数常用公式

• 递推公式

$$C^m_n=C^m_{n-1}+C^{m-1}_{n-1}$$

• 互补性

$$\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\n-m\end{pmatrix}$$

• 上指标求和

$$\sum\limits^n_{i=m}\dbinom mi=\dbinom {n+1}{m+1}$$

• 二项式定理

$$(a+b)^n=\sum\limits_{\color{red}{i=0}}^n\dbinom nia^ib^{n-i}$$

一些常用的二项式定理：

$$(1+1)^n=\sum\limits_{i=0}^n\dbinom ni1^i1^{n-i}=\sum\limits_{i=0}^n\dbinom ni=2^n$$ $$(1-1)^n=\sum\limits_{i=0}^n\dbinom ni1^i(-1)^{n-i}=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^{n-i}\dbinom ni=0$$

• 范德蒙德卷积

$$\sum\limits^k_{i=0}\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{k-i}=\dbinom{n+m}{k}$$

一些常用的范德蒙德卷积：

$$\sum \dbinom{n}{i}^2=\dbinom {2n}n$$

3.5 插板法

例题：青原樱

由于要插 $m-1$ 个板子，所以实际上能放的格子只有 $n-m+1$ 个。

所以答案为 $\dbinom{m}{n-m+1}$

4. 小球&盒子

球 $(n)$	盒 $(m)$	可空？	答案
相同	相同	可	$\text{partition}(n+m,m)$
相同	相同	否	$\text{partition}(n,m)$
相同	不同	可	$\dbinom {n+m-1}{m-1}$
相同	不同	否	$\dbinom{n-1}{m-1}$
不同	相同	可	$\sum\limits^n_{i=1}S(n,i)=\sum\limits^n_{i=1}{n\brace{i}}$
不同	相同	否	$S(n,m)={{n}\brace{m}}$
不同	不同	可	$m^n$
不同	不同	否	$m!S(n,m)=m!{{n}\brace{m}}$

• $\text{partition}(n,m)$ 表示把 $n$ 个相同的球放到 $m$ 个相同的盒子的方案数/把数字 $n$ 分成 $m$ 个部分的方案数。计算方法：

$$f(n,k)=f(n-1,k-1)+f(n-k,k)$$

• $S(n,m)$ 是斯特林数。

5. 卡特兰数

5.1 引入

从 $(0,0)\to(n,n)$ 的方案数。（不触碰 $y=x+1$）

5.2 卡特兰数的定义

$C_n$ 表示长度为 $2n$ 的合法括号序列数。

例如：$C_2=2$，原因如下：

(()) ()()

显然，对于任意前 $n$ 个括号，左括号数定不小于右括号数。

5.3 计算卡特兰数

显然引入的答案就是卡特兰数。

记 $A=\texttt{从}(0,0)\to (n,n)\texttt{所有不合法方案数},B=\texttt{从}(0,0)\to (n,n)\texttt{所有路径}$。

则 $A=\dbinom{2n}{n-1},B=\dbinom{2n}{n}$，答案为 $A-B$。

5.4 小朋友的球

• $dp_{i,j}=dp_{i-1,j-1}+dp_{i-1,j}\times j$。