简单数论

0. 阅读前须知

本文章仅存在于整数范围内。

$a|b$ 表示 $a$ 是 $b$ 的因数。

$\gcd (a,b)$ 表示求最大公因数。

1. 同余

1.1 同余的定义

对于两个整数 $a,b$ ，如果它们除以 $p$ 的余数相同，则称它们模 $p$ 同余，记作：

$$a\equiv b\pmod p$$

带余除法 $a\div p=k\cdots\cdots b$ 也可写成 $a\equiv b\pmod p$

在模 $p$ 意义下，只有 $0\sim p-1$ 这 $p$ 个数。

1.2 同余的计算性质

如果 $a\equiv b\pmod p$：

$$a\pm k\equiv b\pm k\pmod p$$ $$a\times k\equiv b\times k\pmod p$$ $$a^k\equiv b^k\pmod p$$ $$a\equiv b\pmod p\Rightarrow p|(a-b)$$

2. 扩展欧几里得（exGCD）

2.1 exGCD 是干嘛的？

扩欧用于解形如下面的不定方程：

$$ax+by=\gcd(x,y)$$

2.2 exGCD 怎么写？

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
   if(b==0)
   {
      x=1,y=0;
      return;
   }
   exgcd(b,a%b,y,x);
   y-=a/b*x;
}

证明见 oi-wiki

2.3 exGCD 解的值域

由于 $ax+by=\gcd(a,b)$，所以必然有的解会爆 long long。

万幸的是，如果 $b\ne 0$，那么必然有一组解满足 $|x|\le b,|y|\le a$。

3. 裴蜀定理

方程 $ax+by=c$ 有解当且仅当 $\gcd(a,b)|c$。

4. 逆元

4.1 逆元的定义

如果 $ax\equiv 1\pmod p$，则我们称 $x$ 是 $a$ 在模 $p$ 意义下的逆元，记作 $x=a^{-1}$。

显然，$x$ 和 $\dfrac{1}{a}=a^{-1}$ 在模 $p$ 意义下是等价的。

4.2 逆元存在性定理

$x$ 在模 $p$ 意义下存在逆元当且仅当 $a\bot p$。（$a$ 与 $p$ 互质）

证明略。

• 推论：当且仅当模数 $p$ 是质数，$[1,p-1]$ 内所有整数都存在模 $p$ 意义下的逆元。$0$ 没有逆元。此时称 $[1,p-1]$ 是模 $p$ 意义下的一个乘法群。

4.3 逆元的一些性质

• 定理：模 $p$ 意义下，若存在 $x$ 的逆元 $x^{-1}$，则唯一。
• 定理：模质数 $p$ 意义下，$[1,p-1]$ 内所有整数的逆元互不相同。

4.4 求逆元

可以用 exGCD 求逆元。

方程为：$xx^{-1}+pk=1$

推导过程之后写。

4.5 线性求 $1\sim n$ 的逆元

for(int i = 2; i <= n; i++)
	    ans[i] = (p - ans[p % i] * (p / i) % p);

4.6 线性求 $a_1\sim a_n$ 的逆元

记 $p_i=\prod\limits _{j=1}^{i} a_j$。

那么我们可以用exGCD求出 ${p_n}^{-1}$，记作 $v_n$。

此时 $v_n\times a_n= \left(\prod\limits_{i=1}^{n-1}a_i\right)^{-1}$，记作 $v_{n-1}$，同理，可以求出 $v_1\sim v_{n-2}$。

则 ${a_i}^{-1}=v_i\times p_{i-1}$

4.6 求 $\dfrac{a}{b}$ 的逆元

设 $\dfrac{a}{b}\equiv x\pmod p$

那么 $a\equiv bx\pmod p$

记 $x'=\dfrac{x}{a}$，那么 $bx'\equiv 1\pmod p$。

这个方程是可以解的。最终 $x=ax'$。

5. 一些定理

5.1 费马小定理

lhq：费马小

费马小定理：如果质数 $p$ 满足 $a\bot p$，则 $a^{p-1}\equiv 1\pmod p$

• 另一个形式：对于任意整数 $a$，$a^p\equiv a\pmod p$

总所周知，费马小也是可以求逆元的。

• 条件：$p$ 为质数。
• 方法：$a^{-1}=a^{p-2}\bmod p$

5.2 威尔逊定理

威尔逊定理（Whison Theorem）：$p$ 是质数的充要条件是 $(p-1)!\equiv 1\pmod p$

5.3 欧拉定理

欧拉定理（Eular Theorem）：

$$a\bot p\Rightarrow a^{\varphi(p)}\equiv 1\pmod p$$

其中 $\varphi(m)$ 表示 $[1,m]$ 中与 $m$ 互质的数的个数。

5.4 卢卡斯定理

卢卡斯（Lucas）定理：

$$\dbinom nm\bmod p= \begin{pmatrix}\left\lfloor \dfrac np\right\rfloor\\ \left\lfloor\dfrac mp\right\rfloor\end{pmatrix} \times\dbinom {n\bmod p}{m\bmod p}\bmod p$$

一般来说，我们不会只调用一次 $Lucas$。因为 $Lucas$ 可以被 $p=2$ 卡掉，所以这个时候可以递归调用 $Lucas$。即

$$Lucas(n,m)=\dbinom nm\times Lucas\left(\dfrac{n}{p},\dfrac{m}{p}\right)$$

6. 中国剩余定理

6.0 中国剩余定理的来源

「物不知数」问题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

该问题最早见于《孙子算经》中，并有该问题的具体解法。宋朝数学家秦九韶于 1247 年《数书九章》卷一、二《大衍类》对「物不知数」问题做出了完整系统的解答。上面具体问题的解答口诀由明朝数学家程大位在《算法统宗》中给出：

三人同行七十希，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知。

6.1 线性同余方程组

给定 $n$ 个线性同余方程：

$$\begin{cases}x\equiv a_1\pmod {m_1}\\x\equiv a_2\pmod {m_2}\\\cdots\\x\equiv a_n\pmod {m_n}\end{cases}$$

$m_i$ 两两互质，求 $x$ 的通解。

6.2 中国剩余定理（CRT）

记 $M=\prod m_i$，$M_i=\dfrac{M}{m_i}$，$t_i$ 是在 $M_i$ 在模 $m_i$ 意义下的逆元。

则：

$$x=kM+\sum_{i=1}^{n} a_it_iM_i$$

6.3 扩展中国剩余定理（exCRT）

如果 $m_i$ 两两不互质，那么就不能使用 CRT 了。

那什么是 exCRT 呢？

如果我们知道两个同余方程，将其合并成一个，这样就可以一个接着一个合并了。

见?