线段树（进阶）

2. 主席树

2.1 【模板】可持久化线段树 1（可持久化数组）

维护一个可持久化数组。

从某一个历史版本修改某个数的值
求某个版本的某处值。

每次都会进行版本更新（第二个操作生成一个完全一样的版本）

2.2 主席树

主席树的全称：可持久化线段树。

版本相当于一个树：

如果没有版本问题，完全可以直接用数组，但这里我们还是使用线段树：

接下来我们为 $a_1\gets a_1+m,a_3\gets a_3+v$ ， $a_7\gets a_7+w$ 。

很显然，未改变的节点约为 $2n-\log n$ 个，而且 $\log n$ 为链。如果直接再建一棵线段树，在空间上是很亏的。所以考虑直接这么建：

尽管图很抽象，但的确很抽象。

解释一下：由于每一次分叉会差一个节点，那么新建的线段树应该让所有节点（除了叶子）连上其他未接上的点。

很显然，每一次增加 $\log n$ 个点，总用点不超过 $n+q\log n$ ，不好爆。

观察主席树，很显然每个节点不止一个直接祖先，祖先也不止一个。

通过主席树，如果想查询，直接找版本就可以了。

可问题是：怎么存储和加边呢？

线段树使用左儿子 $2x$ ，右儿子 $2x+1$ 的办法来存储的。

而主席树用的是结构体：

struct tree{
	int l,r,val;
	//左儿子，右儿子，权值
}

那么加边就很简单了，指一下就可以了。

如何查询呢？我们可以用 $q$ 个数组来存历史版本。

然后，就没有然后了。

封装主席树：

struct ZX__tree{
	struct tree{
		int l,r,val;
	};
	tree a[32000006];
	int tr[32000006];
	int top;
	int build(int node,int l=1,int r=n)
	{
		node=++top;
		if(l==r)
		{
			a[node].val=read();
			return node;
		}
		int mid=(l+r)/2;
		a[node].l=build(a[node].l,l,mid);
		a[node].r=build(a[node].r,mid+1,r);
		return node;
	}
	int add(int &node)
	{
		top++;
		a[top]=a[node];
		return top;
	}
	int update(int w,int val,int node,int l=1,int r=n)
	{
		node=add(node);
		if(l==r) a[node].val=val;
		else
		{
			int mid=(l+r)/2;
			if(w<=mid) a[node].l=update(w,val,a[node].l,l,mid);
			else a[node].r=update(w,val,a[node].r,mid+1,r);
		}
		return node;
	}
	int query(int w,int node,int l=1,int r=n)
	{
		if(l==r) return a[node].val;
		else
		{
			int mid=(l+r)/2;
			if(w<=mid) return query(w,a[node].l,l,mid);
			else return query(w,a[node].r,mid+1,r);
		}
	}
}a;