0821考试总结

题解

T1

题意

给定一张边权 $0$ 的边，可以连接两条边 $(i,j)$，边权 $(i-j)^2$。求 $1\to n$ 的最短路。要求 $\Theta(n)$。

题解

显然，如果 $1$ 和 $n$ 在一块，那么 $dis_n=0$。

否则肯定要连接 $\texttt{连通块1}\to \texttt{联通块x}\to \texttt{连通块n}$。

记 $dj_i$ 表示 $1$ 到每个连通块的最短代价。$DJ_i$ 表示 $n$ 的。

扫一遍即可。

时间复杂度 $\Theta(n)$。

总结

考场上想出了正解。然后 $ans$ 的初值应该设 $1145141919810$，结果写了个 $114514$，喜提 $60$。

T2

题意

给定 $a_i,b_i(a_i,b_i\le 5\times 10^3)$，对于所有 $0\sim 2m(m\le 5\times10^3)$ 的 $k$，求满足 $a_i+a_j\le k\le b_i+b_j$ 的 $k$ 的个数。

分析

考虑怎么暴力：枚举 $i,j$，将区间 $[a_i+a_j,b_i+b_j]$ 加 $1$ 即可，时间复杂度 $\Theta(n^2)$。

看到 $m$ 比较小，考虑枚举 $m$。直接开一个桶。每一次枚举数值 $i,j$，显然这样的解有 $t_i\times t_j$ 个。所以就这样了。时间复杂度 $\Theta(m^2)$。

总结

考场打了暴力。

T3

题意

每次从 $1\to$ 任意节点，并获得路径上的“得分点”，“得分点”仅持续一回合。在每个节点都走过一次的情况下，先最小化操作次数，再最大化得分点。输出得分点。

分析

树形 $DP$。

首先操作次数就是叶子节点个数。考虑得分点的维护。

显然只有前 $leaf$ 个得分点是有可能获得的。将这些节点打在树上，求个和。每个节点都会有个限制，就是这个节点的叶子节点个数。也就是：

$$dp_{i}=\min\left\{dp_i+\sum dp_u,\texttt{限制}_i\right\}$$

$DP$ 即可。

总结

考场上看错题了，寄。

T4

题意

有三种字符 A，B，C，每次交换任意两个字符，使得所有相同的字符相邻。字符围成环。

分析

以下记 $Q_x$ 表示全部字母 $x$ 的数量，$P_x$ 表示区间 $P$ 的 $x$ 数量。

考虑只有两个字母的方案。显然其大致会是一个形如 A|B|A 的形式。枚举 $B$ 的起点，答案为 $Q_B-B_B$。

那么三个字母也同理为：A|B|C|A，枚举 $B$ 的起点，答案为 $Q_B+Q_C-B_B-C_C$。这样 $A$ 也会顺便排完。

考虑这样一个事情，$B$ 中 C 可以和 $C$ 中 B 直接交换。所以答案还要减去 $\min\{B_C,C_B\}$。

然后，就没有然后了。

总结

考场上根本不会。

T5

题意

求有多少个区间至少有一个数至多出现了 $1$ 次。

分析

假设对于 $a_i$，上、下一个与其相等的记作 $a_l,a_r$。

那么这个区间的贡献为 $(a_i-a_l-1)(a_r-1-a_i)$。

但是这样子会有重复，考虑展开式子/呼叫gengen队。 不过将它放到一个平面直角坐标系上面，大概会是这个样子：

而答案就是面积。三个顶点就是 $(i,i),(i,a_l+1),(a_r-1,i)$。

扫描线模板。

总结

想到了扫描线，但不会打。

T6

不会做。

总结

预计：100+50+0+50+0+0=200
实际：60+50+0+55+0+0=165

如果 $T3$ 想出来了，估计是 $305$，蚌埠住了。