『CSVP-J』CSP-J 信心赛 题解

题目难度

$$\color{orange}orange\color{black}-\color{orange}orange\color{black}-\color{#ffc116}yellow\color{black}-\color{#ffc116}yellow$$

T1 星战

Pro

判断 $x!$ 是否是 $\sum\limits_{i=1}^x i$ 的倍数。

Sol

Subtask 1

因为 $x$ 不大，用 __int128 或者高精即可。

Subtask 2

推式子。

用 $x!$ 除以 $\sum\limits_{i=1}^x i$，得到 $\dfrac{x!}{\frac{x(x+1)}{2}}=\dfrac{2(x-1)!}{x+1}$。

原题转化为 $2(x-1)!$ 是否是 $x+1$ 的倍数。

容易发现，如果 $x+1$ 是合数，就一定有解。然后特判 $x+1=2$ 即可。

时间复杂度 $O(T\sqrt{n})$。

Subtask 3

改成质数筛即可。时间复杂度 $O(n+T)$。

T2 密码锁

Pro

删除最少的数，使得 $a_i\le k\times a_j$。

Sol

Subtask 1

枚举 $l,r$，求出区间最大值与最小值，$k\times min$ 与 $max$ 的关系即可。

时间复杂度 $O(n^3)$。

Subtask 2

ST 表维护最大值，时间复杂度 $O(n^2)$。

Subtask 3

• 当 $k=1$ 时，求出出现最多的数字次数。
• 当 $k=2$ 时，判断删 $1$ 或者删 $2$。
• 当 $k=3$ 时，输出 $0$。

Subtask 4

考虑枚举左端点，二分右端点，时间复杂度 $O(n\log n)$。

Subtask *

本题还可以双指针等其他做法，时间复杂度 $O(n\log n)$。

T3 动物园

Pro

每一次拿一排没有拿过的，先手要和最大，后手要和最小，问最后石子个数。

Sol

Subtask 1

求出 $\text{linemax}_1,\text{linemax}_2,\text{linemin}_1,\text{linemin}_2$，比较 $\max\{\text{linemax}_1+\text{linemin}_2,\text{linemin}_1+\text{linemax}_2\}$ 即可。

Subtask 2

取每一行最大值，每一行最小值。记录它们的差。

显然每一行至少拿 $\min line$。显然史莱姆获得的利益为 $linemax-linemin$。对差值排序即可。

Subtask 3

只需要记录每一行最大值、每一行最小值、差即可。

T4

Sol

Subtask 1

搜索。

Subtask 2

求出最小列车需要修改的值，修改即可。

Subtask 3

假设求出了最小列车需要修改的值，这就变成了一道背包 DP。物品价值 $cost_i$，物品重量 $k_i$。求最小价值。模板。

for(int i=1;i<=m;i++)
{
  int cost,k,op;
  cin>>cost>>k>>op;
  if(op==0)
    for(int j=0;j<=sum;j++)
      f[j]=min(f[j],f[max(0ll,j-k)]+cost);
  else
    for(int j=sum;j>=0;j--)
      f[j]=min(f[j],f[max(0ll,j-k)]+cost);
}