题解：SP7299 MULTQ3 - Multiples of 3

Pro

完成两种操作：

• 区间加 $1$。
• 区间有多少个倍数为 $3$ 的倍数。

Sol

Subtask 1

考虑每次循环 $[l,r]$，时间复杂度 $O(nq)$。

Subtask 2

因为 $O(q\sqrt n)$ 可过，所以考虑分块。

Update

定义 $mod_{k,i}(k\in \{0,1,2\})$ 表示第 $i$ 块中对 $3$ 取模等于 $k$ 的数的个数。

对于散块维护 $mod_{k,i}$；

对于整块，因为每次加 $1$，原来模 $3$ 等于 $k$ 的数，会变成模 $(k+1)\bmod 3$。即：$mod'_{k,i}=mod_{(k-1)\bmod 3,i}=mod_{(k+2)\bmod 3,i}$。

注意还有个区间加，带一个 $\operatorname{lazy\_tag}$ 就行。

Query

对于散块直接计算。

对于整块，直接取 $mod_{0,i}$。

时间复杂度

分块时间复杂度 $O(q\sqrt n)$。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int id[100005],ll[350],n,tot=0;
int a[100005],lzy[350];
int mod[3][350];
void build()
{
	int kc=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		id[i]=(i-1)/kc+1;
		if(id[i]!=id[i-1]) ll[++tot]=i;
		mod[0][tot]++;
	}
	ll[tot+1]=n+1;
}
int query_sk(int l,int r)
{
	int ans=0;
	for(int i=l;i<=r;i++) ans+=((a[i]+lzy[id[l]])%3==0);
	return ans;
}
int query_zk(int k){return mod[0][k];}
void update_sk(int l,int r,int k)
{
	for(int i=0;i<3;i++) mod[i][k]=0;
	for(int i=l;i<=r;i++) a[i]++;
	for(int i=ll[k];i<ll[k+1];i++)
		mod[(a[i]+lzy[k])%3][k]++;
}
void update_zk(int k) // 0 1 2
{
	lzy[k]++;
	swap(mod[0][k],mod[1][k]); // 1 0 2
	swap(mod[0][k],mod[2][k]); // 2 0 1
}
int query(int l,int r)
{
	int L=id[l],R=id[r];
	if(L==R) return query_sk(l,r);
	else
	{
		int ans=query_sk(l,ll[L+1]-1)+query_sk(ll[R],r);
		for(int i=L+1;i<R;i++) ans+=query_zk(i);
		return ans;
	}
}
void update(int l,int r)
{
	int L=id[l],R=id[r];
	if(L==R) update_sk(l,r,L);
	else
	{
		update_sk(l,ll[L+1]-1,L);
		update_sk(ll[R],r,R);
		for(int i=L+1;i<R;i++) update_zk(i);
	}
}
signed main()
{
	int m;
	cin>>n>>m;
	build();
	while(m--)
	{
		int op,l,r;
		cin>>op>>l>>r;
		l++,r++;
		if(op==0) update(l,r);
		else cout<<query(l,r)<<endl;
	}
	return 0;
}