莫队

0. 离线与在线

在线算法一般是 预处理 + 输出。离线算法一般是 输入 + 一起处理。

一个典型的例子是求 LCA，有两种方法：倍增、Tarjan。

倍增是预处理所有节点的 $2^k$ 祖先，然后每次暴力跳。

Tarjan 是输入完所有数据，再全部放在树上处理。

1. 普通莫队

1.1 莫队主体思想

如果 $[l,r]$ 能够 $O(1)$ 扩展到 $[l-1,r],[l+1,r],[l,r-1],[l,r+1]$，且不强制在线，那么可以使用分块。

莫队 = 分块 + 暴力 = 优雅的分块 = 优雅的优雅暴力。

1.2 分块部分与查询顺序

为了保证时间复杂度，需要对原序列进行分块。

定义一次询问的块在 $\lfloor \genfrac{}{}{0ex}{}{l}{kc}\rfloor$。

我们对询问的定义是这样的：

struct ask{
	int l,r,id;
	bool operator < (const ask A) const {
		if(l/kc!=A.l/kc) return l<A.l;
		if((l/kc)&1) return r<A.r;
		return r>A.r;
	}
};

如果两个块不在一块，考虑按左端点排序。这样可以保证 $l$ 大体上从左往右递增。

如果两个块在一块，使用奇偶性排序。

详见 oi.wiki。

1.3 处理答案

处理答案的常用方法是从已知区间 $[l,r]$ 扩展到 $[L,R]$。这一部分较简单：

for(int i=1;i<=q;i++)
{
  ask q=b[i];
  while(l>q.l) update(--l,1);
  while(r<q.r) update(++r,1);
  while(l<q.l) update(l++,-1);
  while(r>q.r) update(r--,-1);
  // 处理答案
}

update 部分较为灵活：如果 $x$ 位置出现/失去，会对答案造成怎样的影响。

1.4 时间复杂度分析

左端点在每个块时间复杂度为 $O(n)$（左端点移动具有单调性），共 $O(\sqrt{n})$ 块，时间复杂度 $O(n\sqrt{n})$。

右端点在每个块时间复杂度为 $O(n)$，共 $O(\sqrt{n})$ 个块，时间复杂度 $O(n\sqrt{n})$。

所以莫队时间复杂度 $O(n\sqrt{n})$。

1.5 求区间和

经典莫队题？

考虑移动一次区间对答案的贡献，update 如下：

void update(int pos,int Sign)
{
    Count+=Sign*a[pos];
}

1.6 数列找不同

经典莫队题。

考虑数当前区间的颜色数，update 如下：

void update(int pos,int Sign)
{
	cnt[a[pos]]+=Sign;
	if(cnt[a[pos]]==1&&Sign==1) Count++;
	if(cnt[a[pos]]==0) Count--;
}

1.7 小 Z 的袜子

经典莫队题。

我们知道一种颜色的袜子的贡献为 $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}cnt(cnt-1)$，所以 update 如下：

void update(int pos,int Sign)
{
	Count-=cnt[a[pos]]*(cnt[a[pos]]-1)/2;
	cnt[a[pos]]+=Sign;
	Count+=cnt[a[pos]]*(cnt[a[pos]]-1)/2;
}

2. 带修莫队

2.1 不能带修？时间维！

从普通莫队到定义 $[l,r,time]$。

如果 $[l,r,time]$ 可以 $O(1)$ 变换成 $[l-1,r,time],[l+1,r,time],[l,r-1,time][l,r+1,time],[l,r,time-1],[l,r,time+1]$，那么可以使用带修莫队。

带修莫队的时间复杂度一般为 $O(n^{2/3}{m}^{2/3}{t}^{1/3})$ 也就是常说的 $O(n^{5/3})$。

2.2 带修莫队

第一关键字是左端点所在块，第二关键字是右端点所在块，第三关键字是时间。

块长设置 $O(n^{2/3})$。

2.3 【模板】树状数组

2.4 「国家集训队」数颜色/维护队列

3. 二维莫队

3.1 二维莫队的原理

二维莫队的思路同带修莫队。

考虑维护 $[l^1,r^1,l^2,r^2]$，如果能 $O(1)$ 转移 $[l^1-1,r^1,l^2,r^2],[l^1+1,r^1,l^2,r^2],[l^1,r^1-1,l^2,r^2],[l^1,r^1+1,l^2,r^2],[l^1,r^1,l^2-1,r^2],[l^1,r^1,l^2+1,r^2],[l^1,r^1,l^2,r^2-1],[l^1,r^1,l^2,r^2+1]$，那么可以使用二维莫队。

Q：上面是一托啥啊？

A：简单来看就是将一个位置 $\pm 1$。

3.2 二维莫队的块长

块长 $S=n\times q^{\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}}$。很容易发现这个值可能为 $0$，此时取 $1$ 即可。

时间复杂度 $O(n^2{q}^{\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4}+q\log q})$。

4. 树上莫队

5. 回滚莫队