题解：P11277 世界沉睡童话

Pro

构造序列 $a$，长度为 $n$，并使得序列有 $k$ 组倍数关系。

要求：$a_i\le 2n-1$。

Sol

我们最好让这个序列有序，因为这样只有后面的数对前面的数有倍数关系。

首先我们发现，$n\sim 2n-1$ 中间是没有倍数关系的。

我们还发现，如果有 $k$ 个相同的数 $a$，它对答案的贡献为 $\dfrac{1}{2}k(k-1)$。

最后我们发现，在 $k$ 个 $1$ 的基础上，再添加一个 $k$，会增加 $n-k+1$ 组倍数关系。

我们发现特殊性质有一栏是这么写的：

$k\le n-1$。

这说明我们可以在 $n\le k$ 时，将其缩小到范围 $k<n$。

这里使用性质 3，在前面疯狂添加 $1$，直到 $k<n$。

while(n<=k+1&&n!=0)
{
	cout<<"1 ";
	n--;
	k-=n;
}

如果此时 $n=0$，可以直接 return 0; 了。

如果此时 $n>0$，因为 $k<n$，所以 $2k<2n-1$，也就是说如果我们可以从前往后填 $n,\cdots,n,n+1,\cdots$，从后往前填 $2n-1,2n-2,\cdots$，且不重复。

使用性质 2，一直枚举最大的 $p$ 使得 $\dfrac{1}{2}p(p-1)\le k$，然后填上 $p$ 个 $a$，再使 $a$ 加 $1$。初始 $a=1$。

最后 $k=1$ 的时候，从 $2n-1$ 开始，从后往前填即可。

以上全部运用了性质 3。

时间复杂度是 $O(n)$ 的。

void ans(int n,int k)
{
	while(n<=k+1&&n!=0)
	{
		cout<<"1 ";
		n--;
		k-=n;
	}
	if(n<=0) return;
	int a=n,lst=n;
	while(k&&lst)
	{
		int sum=sqrt(k)*2;
		while(sum*(sum-1)/2>k)sum--; // 这里应该可以直接用数学推出来
		k-=sum*(sum-1)/2;
		for(int i=1;i<=sum;i++) cout<<a<<' ';
		lst-=sum,a++;
	}
	for(int i=2*n-1;lst;i--) cout<<i<<' ',lst--;
}