证明正弦定理的方法
方法汇总
第一种 最简单的方法
过点 \(A\) 作 \(AH \perp BC\) 交 \(BC\) 于点 \(H\) ， 易得：
\[AH=c\sin B=b\sin C \\ \Downarrow \\ \dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{b}{\sin B}
\]
同理可得：
\[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}
\]
\[\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{a}{\sin A}
\]
综上：
\[\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{a}{\sin A}
\]
补充：
我们也可以借此得到 \(S\triangle ABC=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}ac\sin B=\dfrac{1}{2}bc\sin A\)
第二种 勾股定理法
过点 \(A\) 作 \(AH \perp BC\) 交 \(BC\) 于点 \(H\) ，可得 \(AH=b\sin C,BH=c\cos B\)
由勾股定理可得：
\[AB^2+AH^2+BH^2
\]
即
\[c^2=b^2\sin^2C+c^2\cos^2B
\\ \Downarrow \\
c^2(1-\cos^2B)=b^2\sin^2C
\\ \Downarrow \\
\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{b}{\sin B}
\]
同理可得：
\[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}
\]
\[\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{a}{\sin A}
\]
综上：
\[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}
\]
第三种 余弦定理证明正弦定理
前言：暴力出奇迹 打表出省一
\[\cos A=\dfrac{c^2+b^2-a^2}{2bc}\Rightarrow \cos^2A=\dfrac{c^4+b^4+a^4+2c^2b^2-2a^2b^2-2a^2c^2}{4b^2c^2}
\]
由 \(\cos^2A+\sin^2A=1\) 可得：
\[\sin^2A=\dfrac{-c^4-b^4-a^4+2c^2b^2+2a^2b^2+2a^2c^2}{4b^2c^2}
\]
同理可得 \(\sin^2B\) 和 \(\sin^2C\) 的值，笔者不在此赘述此证明过程。
所以：
\[(\dfrac{a}{\sin A})^2=\dfrac{4a^2b^2c^2}{-b^2-c^2-a^2+2a^2b^2+2a^2c^2b^2c^2}=(\dfrac{b}{\sin B})^2=(\dfrac{c}{\sin C})^2
\]
所以：
\[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}
\]
综上：
\[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}
\]
第四种 建立平面直角坐标系
不妨设 \(A(0,0),C(x,y),B(c,0)\) ，过点 \(C\) 作 \(CH \perp AB\) 交 \(AB\) 于点 \(H\) ，易得：
\[CH^2=y^2 \\ AC^2=x^2+y^2 \\ BC^2=(x-c)^2+y^2
\]
所以：
\[a=BC,\sin A=\dfrac{CH}{AC},b=AC,\sin B=\dfrac{CH}{CB}
\]
可得：
\[(\dfrac{a}{\sin A})^2=\dfrac{[(x-c)^2+y^2](x^2+y^2)}{y^2}=(\dfrac{b}{\sin B})^2
\]
所以：
\[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}
\]
同理可得：
\[\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{a}{\sin A}
\]
\[\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{b}{\sin B}
\]
综上：
\[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}
\]
第五种 外接圆法一
过点 \(O\) 作线段 \(OH \perp BC\) 交 \(BC\) 于点 \(H\) ，易得： \(BC=a,BD=\dfrac{a}{2}\)
所以
\[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{a}{\sin \angle BOD} =\dfrac{a}{\frac{a}{2r}}=2r
\]
同理可得：
\[\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2r
\]
综上：
\[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2r
\]
第六种 外接圆法二
由题： \(\angle ACB=\angle AEB\) ，所以 \(\sin C=\sin\angle AEB=\dfrac{AB}{EB}=\dfrac{c}{2r}\)
所以
\[\dfrac{c}{\sin C}=2r
\]
同理可得：
\[\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{a}{\sin A}=2r
\]
综上：
\[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2r
\]
第七种 相似法
这种正法好无聊，相当复杂，纯属拓宽思路
过点 \(A\) 作 \(AH \perp BC\) 交 \(BC\) 于点 \(H\).
作 \(\triangle ACD \sim \triangle AHB，\triangle AHC \sim \triangle ABE\) ，可得： \(\angle HAC=\angle EAB,\angle HEB =\angle CAD\) .
所以：
\[\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AB}{AH},\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AC}{AH}\Rightarrow \dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AC}
\]
所以 \(AD=AE\)
又因为：
\[\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{AC}{\sin \angle ADC}=AD,\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{AB}{\sin \angle AEB}=AE
\]
所以：
\[\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C
}\]
同理可得：
\[\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{a}{\sin A}
\]
\[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}
\]
综上：
\[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}
\]
第八种 向量法
这个比我发明的第七种证法还无聊，但这是教科书上的
过点 \(A\) 作与 \(\overrightarrow{AC}\) 垂直的单位向量 \(\boldsymbol{j}\) ，则 \(\boldsymbol{j}\) 与 \(\overrightarrow{AB}\) 的夹角为 \(\dfrac{\pi}{2}-A\) ， \(\boldsymbol{j}\) 与 \(\overrightarrow{CB}\) 的夹角为 \(\dfrac{\pi}{2}-C.\)
因为 \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\) ，所以：
\[\boldsymbol{j}\cdot(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})=\boldsymbol{j}\cdot\overrightarrow{AB}
\]
由分配律得：
\[\boldsymbol{j}\cdot\overrightarrow{AC}+\boldsymbol{j}\cdot\overrightarrow{CB}=\boldsymbol{j}\cdot\overrightarrow{AB}
\]
即
\[|\boldsymbol{j}|\ |\overrightarrow{AC}|\cos\dfrac{\pi}{2}+|\boldsymbol{j}|\ |\overrightarrow{CB}|\cos(\dfrac{\pi}{2}-C)=|\boldsymbol{j}|\ |\overrightarrow{AB}| \cos(\dfrac{\pi}{2}-A)
\]
也即
\[a\sin C=c\sin A \Rightarrow \dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}
\]
同理可得：
\[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}
\]
\[\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C
}
\]
综上：
\[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}
\]
