「NOI Online 2022 入门组」赛后总结

前言

如有笔误和错误，欢迎给位 dalao 指出。

赛时游记

14.00 开始下载题目。

14.02 打开题目。

14.02 ~ 14.30 看第一题，发现就是一个循环结构+选择结构，秒切+检查。

14.31 ~ 16.30 打开第二题，直觉想到由于 \(gcd\) 以及那个 \(z=x\times y \times \gcd(x,y)\) 等式，就开始分解质因数，后来发现 \(\sqrt n\) 算法要 TLE，所以开始推式子。

写废了 \(x\) 多张草稿纸，终于推出来一个奇奇怪怪的式子，然后用时间瓶颈为求 \(\gcd\) 的算法把打样例过了。

但是当我发现我把 \(50000\) 的大样例复制 \(10\) 遍之后在本地开 O2 要跑 1.2 秒，于是又加了一个快读快写和一些小卡常。

16.31 ~ 17.40 开始看第三题，看到 答案要对 \(1e9+7\) 取模 以及数据范围就开始想 \(n^3\) \(dp\) 做法。但是一直推了很久都没有想出来，所以决定打个暴搜了事。

17.40 ~ 18.00 把三个题目代码交了上去，然后开始验证正确性。然后发现我的第二题用了 unsigned long long 会出现玄学错误（好像出现了负数），所以便改成了 long long。

At last：\(100+100+35=235\)。

各题总结

T1

这个题目比较水，就是把每个题目对的个数和错的个数记录下来，然后看是对还是错的个数多，哪个多就说明哪个是错还是对，最后在和题目给出的答案比较就行。

T2

典型的数学题。（看题目名称也知道）

题意就是给定 \(x,z\) 以及这个特别烦的等式 \(z=x\times y \times \gcd(x,y)\)，求 \(y\) 的最小值。显然，我们可以给出 \(y\) 的上界给他求出来，就是 \(z/x\)。（显然当 \(x\% y \not= 0\) 该题无解。） 然后，我们可以发现，如果 \(y=z/x\)，那么为了让等式成立，我们就需要对右边的式子除以 \(\gcd(x,y)\)，那么接下里的问题就是如何让他除下去。显然，我们有两种方法让右边的式子的值变小，及只让 \(y\) 变小，或者让 \(\gcd(x,y),y\) 都变小。为了让 \(y\) 的值越小，就要让 \(y\) 中不包含 \(\gcd(x,y)\) 那一部分先除下来，然后再让 \(\gcd(x,y),y\) 两者同时变小。注意一点，在同时变小的时候，\(\gcd(x,y)\) 一除以 \(w\)，这个右边的式子就会除以 \(w^2\)，所以，如果右式无法整除除 \(w^2\) 就输出 -1。

这个题还是耽搁了我很久来推式子的，确实是一个好的思维题。

T3

显然，看到这个取模，我们就能够轻松想到动态规划。（但考试为了作对这个题目，推了半天都没退出来，还让我忘记在打包搜的时候记忆化了！）既然有了官方题解，那我就在下面粗略的理一下思路。

设 \(dp_{i,j,k}\) 是当执行到第 \(i\) 个操作时，左边有 \(j\) 个字符要被删掉，右边有 \(k\) 个字符要被删掉时方案数、显然，我们可以根据当前执行到的操作，来确定现在新出现的那个字符串的长度。假设其为 \(len\)。

如果 \(s_i\) 是 '-'

则我们要么删前面的，要么删后面的，则此时有状态转移：\(dp_{i,j,k}=dp_{i-1,j+1,k}+dp_{i-1,j,k+1}\)

如果 \(s_i\) 不是 '-'

• \(k\ge 1\) ,显然此时后面有要删的，则新加的字符也一定会被删掉：\(dp_{i,j,k}=dp_{i-1,j-1,k}+dp_{i-1,j,k-1}\)

• \(k=0\) 则当前这个一定要和匹配之后才能加进去，及在 \(t_{len-j}=s_i\) 时，有状态转移 \(dp_{i,j,k}+=dp_{i-1,j,k}\)

• 如果 \(len=j\) 则加在后面的也可以被前面的删掉：\(dp_{i,j,k}+=dp_{i-1,j-1,k}\)

后记

总体来说，这次考试考得不是特别理想（\(dp\) 的转移方程还是没有推出来，这一块有待加强），不过数学题倒是做对了，希望可以继续保持。