鹰蛋总结

本篇文章是 based on 这篇的，感谢对我的帮助：

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题目是 ural 1223，加强版。

注意，这个文章不是正解。

这篇文章的更新日志：

2024/4/13：开坑。

好，我们进入正题吧。

问题简述

有一栋 \(n\) 层的大楼，\(m\) 个一样的鹰蛋。现在你想要知道至少几层楼才能摔坏（如果都没有摔坏算 \(n+1\)），摔坏的蛋不能用了。

简单版的 \(n,m\le 1000\)；加强版 \(n,m\le 10^{18}\)。

其他算法

研究一个问题，有两个方面：

• 在保证复杂度的时候的最佳方案能想到啥？

• 在保证最优方案的时候的最优复杂度能想到啥？

在最优化之前，我们有什么 intuitive 的算法？

如果是你，你想到的第一种是啥？

你会二分

如果二分高度，很容易发现我们可以很快确定高度，但是鹰蛋也许不够。一个 \(n\) 层楼的，\(m\) 要多少呢？

答案是 \(m\ge \lceil \log_2(n+1)\rceil\)。容易发现这个是不考虑鹰蛋个数，或者是无限多个的时候的最佳方案。

所以，我们可尝试把 \(m\) 缩小到 \(\lceil \log_2(10^18)\rceil\) 约 \(60\) 的级别？

你会你个一个扫

如果 \(m\) 有限制，比如说 \(m=1\)，我们直接从 \(1\) 到 \(n\) 顺次尝试，这样 \(n\) 次一定可以得出结果。事实上，这个是 \(m=1\) 的最佳方案。

你会 \(m\) 个 \(m\) 个扫

我们有 \(m\) 个鹰蛋呢！为什么不这样：第一个鹰蛋测试 \(1,m+1,2m+1,\cdots\)，第二个鹰蛋测试 \(2,m+2,2m+2,\cdots\)，这样不就可以比一个一个扫方便很多！

这个方案要什么复杂度？容易发现，我们先测试第一个鹰蛋，如果它挺过了 \(i\) 层，\(i+m\) 层破了，一定在 \(i+1\sim i+m\) 之间。这个实验 \(m-1\) 次即可。所以我们把最有次数缩小到 \(\lceil \frac{n}{m}\rceil+m-1\)。

你会把 \(m\) 个 \(m\) 个扫和二分结合

前面很明显可以优化啊。最后的 \(i+1\sim i+m\) 即 \(m-1\) 个数，我们用 \(m-1\) 个鹰蛋，显然可以只用 \(\mathcal{O}(\log_2(m-1))\) 次确定答案。

虽然说这个只能优化一点点，但是又没有什么启发？

你会把 \(1\) 个 \(1\) 个扫和二分结合

二分的弊端在于，我们没有足够的鹰蛋。如果把\(1\) 个 \(1\) 个扫和二分配合起来，会更优吗？

我们留下一个鹰蛋，其他的鹰蛋去二分。有了 \(m-1\) 个鹰蛋的努力，我们范围缩小到了 \(\frac{n}{2^{m-1}}\)。这个东西我们用最有一个鹰蛋 \(1\) 个 \(1\) 个扫就可以了。

容易发现，这个在 \(n\) 比较大的时候比前面优很多。

你会把 \(1\) 个 \(1\) 个扫，\(x\) 个 \(x\) 个扫和二分结合

前面的经验告诉我们，除以一个数贡献很大，结合算法很好。

那么，全部结合呢？

我们先用 \(m-2\) 个鹰蛋二分，然后用一个鹰蛋来“间隔”地测（我们的 \(m\) 个 \(m\) 个扫就是间隔为 \(m\)），最后用一个鹰蛋 \(1\) 个 \(1\) 个扫，这样会不会更优？

当然你会说，为啥必须是 \(m-2\) 个？我们先不考虑这个，考虑后半部分最优是啥，即，间隔是多少最好？问出这个问题，说明你已经不拘泥于二分。

我们做一个数学分析。设分成 \(x\) 份，令 \(sz=n/2^{m-2}\)，我们其实要最小化 \(f(x)=\frac{sz}{x}+x-1\)。根据小学一年级，这个是对勾函数，在 \(x=\sqrt{sz}\) 时最优。

我都说了，你已经不拘泥于二分-pre

为啥是 -pre 呢，因为这个没啥用（至少我不会）。

不是二分的第一个想到的是三分。三分的常见用法是在求一个函数在 \([l,r]\) 中的极值。因此，我想到了：如果我们能把每一种鹰蛋的强度的输入，设计一种算法，使输出的函数都是不一样的凹/凸函数？

如果我们可以这样，怎么求鹰蛋硬度呢？我们要确定一个 \(n\) 级的函数，取 \(n+1\) 个点，然后做插值就可以了。因此，我们要最小化的是我们算法生成的函数的级。

我都说了，你已经不拘泥于二分

把二分替代掉，用 \(k\) 分。这里的 \(k\) 分不是系统意义上的 \(k\) 分。我们来想一个事情：

假如你是和一个很邪恶的交互库玩这个“游戏”，它每一次可以通过你的询问（即实验）判断鹰蛋碎不碎。他想要干啥？他要：

• 我尽量让你鹰蛋碎，这样你就没有鹰蛋实验了！

• 我尽量让你实验很多次，这样你就没耐心了！

二分的弊端是什么？我们来看看碎和不碎的区别：

• 碎了，那么可能的硬度区间除以 \(2\)，少了一个鹰蛋。

• 没碎，那么可能的硬度区间除以 \(2\)，没少一个鹰蛋。

邪恶的交互库一定会让你碎的！那么 \(k\) 分的优点是啥？举 \(3\) 分的例子吧：

• 碎了，那么可能的硬度区间除以 \(3\)，少了一个鹰蛋。

• 没碎，那么可能的硬度区间变成原来的 \(2/3\)，没少一个鹰蛋。

也就是……碎了鹰蛋，但是可以除以 \(3\)，\(3>2\)；没碎鹰蛋，一还可以继续实验啊！这就可以让邪恶的交互库发愁了。

但是显然 \(3\) 分是不可取的，因为 \(3^m\) 如果小于 \(n\)，就不行。那么我们怎么选择 \(k\) 呢？我们要 \(k^m\ge n\)，就要取 \(k=\sqrt[m]{n}\)。如果是 \(n=10^{18},m=12\)，\(k=32\) 比较才能确定可行。这个时候最劣操作次数是啥呢？是 \(\log_{32/31} 10^{18}=1306\)！这个是不是突破了很多？

注：\(10^{18},12\) 的例子就是上面链接 link 1 里面的。

你会 \(k\) 分法和 \(1\) 个 \(1\) 个扫结合

这边的 \(k\) 分才是系统意义上的 \(k\) 分。用 \(k\) 分，确定一个数的最多操作次数是 \((k-1)\times \log_{k}(n)\)，也就是说，缩小成 \(1/k^x\)，我们要 \((k-1)\times x\) 次。至于这个，可以用三分法来理解。

我们来算一下\(k\) 分法和 \(1\) 个 \(1\) 个扫结合的最劣方案数吧！同样，\(k=\sqrt[m-1]{n}\) 最优。答案是：\((m-1)\times (k-1)+\frac{n}{k^{m-1}}\)。如果把 \(n=10^{18},m=12\) 带入，\(k=43\)，因此 \(11\times 42+10^{18}/(43^{11})=463\)！这个，更接近答案了！

你还有别的想法

你还有什么做法呢？比如说，不同方法的结合？