Hanoi Tower: 变形/总结

省流：没有更新完成，正在慢慢更新。

Hanoi Tower 问题本身很简单，A,B,C 三个柱子，起初每一个圆盘都在 A 上，想要全部移动到 B/C。每次只能移动最上面的，大的在小的圆盘下面。

Original Problem/原问题

考虑一个递归函数。\(hanoi(n,A,B,C)\) 代表目标是把 \(N\) 这个大小的盘子通过 B 从 A 移动到 C。

void hanoi(int n,char A,char B,char C){
	if (n){
		hanoi(n-1,A,C,B);
		cout<<A<<"->"<<C<<endl;
		hanoi(n-1,B,A,C);
	}
}

步数是 \(2^n-1\)。总共状态是 \(2^n\) 个（包含最前面的）。

• 最优是 \(2^n-1\)。对于一个盘子 \(x\)，它的希望是 \(1\cdots x-1\) 都从它身上下来，它移动一下，\(1\cdots x-1\) 都再爬到他身上。没有步数的浪费，所以是最优。

• 总共状态是 \(2^n\) 个。最多 \(2^n\) 个。如果有两个重复的，一定不是最优解（可以把中间的去掉）。

一共有 \(3^n-2^n\) 个状态不能达到。

A More Abstract Way/一个更抽象的方式

因为有 \(2^n\) 个状态可以达到，就可以用长度为 \(n\) 的二进制串来表示每一个状态，一共 \(2^n\) 个。我们可以尝试用 \(+1\) 来表示一步，从 \(0\) 加到 \(2^n-1\) 就做完了。

• 如果一个 \(+1\) 不进位，就代表 \(1\) 号盘子往右移动了 \(1\) 步。

• 反之，那个从 \(0\) 变成 \(1\) 的对应的盘子，移动到它可以移动的位置。

例如：\(3\) 个盘子。

• \(000\rightarrow 001\)：\(A\rightarrow B\)。

• \(001\rightarrow 010\)：\(A\rightarrow C\)。

• \(010\rightarrow 011\)：\(B\rightarrow C\)。

• \(011\rightarrow 100\)：\(A\rightarrow B\)。

• \(100\rightarrow 101\)：\(C\rightarrow A\)。

• \(101\rightarrow 110\)：\(C\rightarrow B\)。

• \(110\rightarrow 111\)：\(A\rightarrow B\)。

（\(X\rightarrow Y\) 代表 \(X\) 最上面的移动到 \(Z\)）

为什么是对的？

一个大一点的例子： \(000000\)。第一个 \(0\) 要变成 \(1\)，要经过 \(011111\rightarrow 100000\rightarrow 111111\)。对于每一位都是。也就相当于上面的盘子移开，自己移好，再把其他盘子移上来。

Change \(1\): Only Adjacent/只能相邻

现在在原问题的规定上，只能 \(A\rightarrow B,B\rightarrow C,C\rightarrow B,B\rightarrow A\)。这样，要几步呢？答案不难猜到，\(3^n-1\)。

一个盘子想要移动到最终的位置上，怎么办？

• 上面的盘子往右 \(2\) 步。

• 自己往右 \(1\) 步。

• 上面的盘子往左 \(2\) 步。

• 自己往右 \(1\) 步。

• 上面的盘子往右 \(2\) 步。

按照上面二进制的方法，这边就变成了三进制。

• \(+1\) 不进位：\(1\) 往左/右 \(1\)。

• 反之，对应的一个盘子移动。

这种变形还有一个性质，就是一共有 \(3^n\) 个状态，它都可以达到，而且没有重复的。如果把互相可以达到的状态连一条边，从 \(AAA\) 走到 \(CCC\)，会形成一个很好看的形状。

（别人的图）

可以发现，原问题是最短路，这个，是最长路。

Change \(2\): Unreached Count/不能达到的状态

原问题中，如果我们最终全部放到 B，对于一个状态，怎么判断它能不能到？

Gym-100114A

在「原问题」的分析中，我们可以得知：对于盘子 \(n\)，在 \(2^{n-1}\) 次移好，盘子 \(n-1\) 在 \(2^{n-2}\) 和 \(2^n-2^{n-2}\) 次移好……

有了这样的发现，我们可以折半倒着搜索。先贴一个表。

Number of steps	Combination
0	AAA
1	BAA
2	BCA
3	CCA
4	CCB
5	ACB
6	ABB
7	BBB

这个表格里的 Combination 是 \(1\sim n\) 顺序的。

\(0\sim 3\) 中，第 \(3\) 位是 A，\(4\sim 7\) 中反之。\(0\sim 3\) 又分成了两段，是 A 和 C（我们可以再分的时候视它们为新的 A 和 B）。\(4\sim 7\) 是 C 和 B（同理）。

于是就有了这样一个思路：

• 从 \(n\) 到 \(1\) 搜索。\(hanoi(cur,A,B,C)\) 为函数。

• 若 \(s_{cur}=C\)，不可能访问到了这个状态，输出 \(\texttt{NO}\) 结束。

• \(cur=1\) 就 return 1。

• 若 \(s_{cur}=A\)，\(\rightarrow hanoi(cur-1,A,C,B)\)。

• 若 \(s_{cur}=B\)，\(\rightarrow hanoi(cur-1,C,B,A)\)。

我们发现，这就是伪代码里的！

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define de(x) cout<<#x<<"="<<x<<endl

using ll = long long;

int x;
string s;

int hanoi(int n,char a,char b,char c){
	if (n==1){
		if (s[0]==a || s[0]==b){
			return 1;
		}
		return 0;
	}
	else{
		if (s[n-1]==a){
			return hanoi(n-1,a,c,b);
		}
		if (s[n-1]==b){
			return hanoi(n-1,c,b,a);
		}
		return 0;
	}
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);

	freopen("input.txt","r",stdin);
	freopen("output.txt","w",stdout);
	cin>>x>>s;
	if (hanoi(x,'A','B','C')){
		cout<<"YES"<<endl;
	}
	else{
		cout<<"NO"<<endl;
	}
	return 0;
}