ABC 295

没有更完。 \(\leftarrow\) Actually, I think I'm too lazy to update it at all.

赛后的补题，所以懒得做 \(\text{A}\sim\text{D}\)。

E

首先，一个错误的思路。

考虑 \(A_k\) 是原先 \(A_i\neq 0\) 中的一个，还是 \(A_i\) 转化成 \(0\) 后的一个。前者没有任何问题，但是后者会重复 \(\rightarrow\) 错误！

正确的思路：

注意到 \(\text{Answer}=\displaystyle \sum^{m}_{i=1} \ ([\text{possibility of }A_k=i]\times i)=\sum^{m}_{i=1}\ [\text{possibility of}A_k\ge i]\)。

这个证明是很显然的。

再次注意到 \(N,M\le 2000\rightarrow\) 可以用 \(O(NM)\)！

Spoiler

考虑枚举 \(i\)，然后 \(O(N)\) 计算 \(\sum\) 后面的答案。其实，\([\text{possibility of}A_k\ge i]\) 就等于 \([\text{possibility of at least } N-k+1 \text{ integers that are } \ge i]\)。这样，就很简单了。

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define de(x) cout<<#x<<"="<<x<<endl

#define int long long

const int N = 2e3+3;
const int mod = 998244353;

int inv(int a){
	return a==1?1:(mod-1ll*inv(mod%a)*(mod/a)%mod);
}

int n,m,k;
int a[N];
int binom[N][N];

signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    cin>>n>>m>>k;
    for (int i=0; i<n; i++){
        cin>>a[i];
    }
    binom[0][0]=1;
    for (int i=1; i<N; i++){
        binom[i][0]=1;
        for (int j=1; j<=i; j++){
            binom[i][j]=binom[i-1][j]+binom[i-1][j-1];
            binom[i][j]%=mod;
        }
    }
    int zero=0;
    for (int i=0; i<n; i++){
        zero+=(a[i]==0);
    }
    int ans=0;
    for (int i=1; i<=m; i++){
        // count the number of ways such that a_k>=i
        int nd=n-k+1;
        for (int j=0; j<n; j++){
            if (a[j]>=i){
                nd--;
            }
        }
        if (nd<0){
            ans++;
            ans%=mod;
            continue;
        }
        if (nd>zero){
            continue;
        }
        int pos=(m-i+1)*inv(m)%mod;
        int pos2=(1-pos+mod)%mod;
        vector<int> v1(zero+1),v2(zero+1);
        v1[0]=1;
        v2[0]=1;
        for (int j=0; j<zero; j++){
            v1[j+1]=v1[j]*pos;
            v1[j+1]%=mod;
            v2[j+1]=v2[j]*pos2;
            v2[j+1]%=mod;
        }
        for (int j=nd; j<=zero; j++){
            ans+=v1[j]*v2[zero-j]%mod*binom[zero][j]%mod;
            ans%=mod;
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

F

好题。

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define dg(x) cout<<#x<<"="<<x<<endl

using ll = long long;

string s;

ll pw[18];

ll stol(){
	ll res=0;
	for (auto c : s){
		res=res*10ll+c-'0';
	}
	return res;
}

ll num(ll x,ll p){
	x--;
	ll l=s.size(),r=p+1-l;
	if (r<0){
		return -1;
	}
	if (s[0]=='0'){
		x+=pw[r];
	}
	ll a=x/pw[r],b=x%pw[r];
	ll ret=a*pw[p+1]+stol()*pw[r]+b;
	return ret;
}

ll cal(ll x){
	ll res=0;
	for (ll i=0; i<=15; i++){
		ll fst=num(1,i);
		if (fst==-1 || fst>x){
			continue;
		}
		ll l=0,r=pw[16-s.size()]+1;
		while (l+1<r){
			ll mid=l+r>>1;
			if (num(mid,i)>x){
				r=mid;
			}
			else{
				l=mid;
			}
		}
		res+=l;
	}
	return res;
}

void init(){
	pw[0]=1;
	for (int i=1; i<18; i++){
		pw[i]=pw[i-1]*10ll;
	}
}

void solve(){
	ll l,r;
	cin>>s>>l>>r;
	cout<<cal(r)-cal(l-1)<<endl;
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);

	init();
	int t;
	cin>>t;
	while (t--){
		solve();
	}
	return 0;
}

G

好题。

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define de(x) cout<<#x<<"="<<x<<endl

using ll = long long;

const int N = 2e5+5;

int n,q,p[N];
int fa[N];

void init(){
    for (int i=0; i<n; i++){
        fa[i]=i;
    }
}

int find(int x){
    return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);
}

void merge(int x,int y){
    x=find(x);
    y=find(y);
    if (x!=y){
        fa[y]=x;
    }
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);

    cin>>n;
    for (int i=1; i<n; i++){
        cin>>p[i];
        p[i]--;
    }
    init();
    cin>>q;
    while (q--){
        int ty;
        cin>>ty;
        if (ty==1){
            int u,v;
            cin>>u>>v;
            u--,v--;
            while (find(u)!=find(v)){
                int it=find(u);
                merge(p[it],u);
            }
        }
        else{
            int x;
            cin>>x;
            x--;
            cout<<find(x)+1<<endl;
        }
    }
	return 0;
}