数学分析(3) 复习笔记

就不该开始的

回顾与展望

2.1 外测度与测度

• 外测度：空集为零；单调性；次可加性
• CY条件：\(T\in \R^n, \mu^*(T)=\mu^*(T\cap E)+\mu^*(T\cap E^c)\)
• CY定理：\(\sigma-\)代数；可数可加性；完备性
• Lebesgue测度，Lebesgue测度空间

2.2 Lebesgue测度的性质

• 定理（\(\mathcal{L}-\)可测集的特征）：内外正则性（开集外，闭集内）；内外逼近（紧集内，开集外）
• 定理（\(\mathcal{L}-\)测度的平移、伸缩性）

2.3 可测函数

• 广义实值可测函数
• 定理（简单函数的逼近）

2.4 可测函数的积分

• 定理（单调收敛）：单调递增非负可测函数列+收敛
• 定理（Fatou引理）：\(f_n\longrightarrow f,\mu .a.e\) 于 \(E\Rightarrow \underline \lim_{n\rightarrow \infty}\int f_nd\mu ≤\int fd\mu\)
• 定理（控制收敛定理/LDC）：收敛+非负可测函数控制

2.5 \(\R^n\) 上的Lebesgue积分的计算

2.5.1 \(\R\) 上的Lebesgue积分的计算

• 定理（Lebesgue积分下的Newton-Leibnitz）\(I\) 上绝对连续函数 \(\Rightarrow\) \(f\) 几乎处处可微；\(f'\in \mathcal{L}^1(I)\)；Newton-Leibnitz公式
  • 弱化：\(f\in c[a,b]+f\) 在 \([a,b]\) 上可微 \(+f'\in \mathcal{L}^1[a,b]\Rightarrow\)Newton-Leibnitz公式

2.5.2 Fubini定理

• Fubini定理：
  • 形式1：\(E\in \mathcal{M}_{p+q} \Rightarrow E_x\in \mathcal{M}_q,\ E_y\in \mathcal{M}_p\)；\(\int_{\R^p}m_q(E_x)dx=\int_{\R^q}m_p(E_y)dy=\int_{\R^{p+q}}1_E(x,y)dxdy\)
  • 形式2：\(X,Y\) 可测集，\(f\) Lebesgue可积或非负可测 \(\Rightarrow \int \int _{X×Y}f(x,y)dxdy=...\)
• 命题：\(X\in \mathcal{M}_q,\ Y\in \mathcal{M}_p\) ；\(\forall x\in X, y\longrightarrow f(x,y)\) 是 \(Y\) 上连续函数；\(\forall y\in Y, x\longrightarrow f(x,y)\) 在 \(X\) 上可测 \(\Rightarrow f\) 是 \(X×Y\) 上的可测函数。
• 定理*：\(\varphi\ c^1\) 单射 + \(E\) 可测集 + \(f\) 非负可测/Lebesgue可积 \(\Rightarrow\) 积分换元公式
  • 闭区域上：要求边界Lebesgue测度为0，闭区域每点可导，闭区域内部单射
  • \(e.g.\) 球极变换
  • \(e.g.\) 球面测度与球面积分
• 命题5：等径不等式

\(Ch.10\) Hausdorff测度与曲线、曲面积分

\(§0\) Vitali覆盖引理

• Vitali覆盖
• 定理1（Vitali覆盖定理）：直径上确界有限的闭球/闭方体集合族 \(\subseteq\) 同心伸缩 \(5\sqrt{n}\) 倍的可数闭球/闭方体族
  • Zorn引理：在任何一非空的偏序集中，若任何链（即全序的子集）都有上界，则此偏序集内必然存在（至少一枚）极大元
  • 定理2（Vitali覆盖定理变形）：定理1中，两边任意去掉有限个闭球/闭方体，包含关系仍成立
• 定理3（闭球填充一般集合）：\(E\subseteq \R^n\)，可以从E的Vitali覆盖中找至多可数个集合\(\{B_k\}^{k_0}_{k=1}\) ，使得 \(m^*(E/\{B_k\}^{k_0}_{k=1})=0\)
• 定理4（开集由闭球填充）：\(\Omega \subseteq \R^n\) 非空开集，\(\forall \delta >0\)，\(\exist\) 闭球族 \(\{B_k\}^{\infty}_{k=1}\) 满足 \(①\forall k≥1, B_k\subseteq \Omega\) ；\(②\{B_k\}^{\infty}_{k=1}\) 互不相交；\(③diam(B_k)≤\delta\)，\(s.t.m^*(\Omega/\{B_k\}^{\infty}_{k=1})=0\)

\(§1\) Hausdorff测度

Hausdorff外测度

• \(H^*_{k,\delta}(E),\ H^*_{k}(E)\)
• 命题1：两者均是外测度；后者是度量外测度（隔离可加性）；前者≤后者
• 命题2（维数的作用）：低维测度有限的集合，高维测度必为零
• 命题3（\(H^*_{k}\) 保持距离不等式）：\(E\subseteq \R^n,\ |f(x)-f(y)|≤c|g(x)-g(y)|\Rightarrow H^*_{k}(f(E))≤c^kH^*_{k}(g(E))\)
• 命题4（\(H^*_{k}\) 的平移、伸缩、旋转性质）
• 命题5：同维度时，Hausdorff外测度等同于Lebesgue外测度
• 命题6（k维Hausdorff外测度计算）：\(1≤k≤n,\forall E\subseteq \R^k,A\in \mathcal{M}_{n,k}(\R)\) 有 \(H_k^*(A(E))=\sqrt{\det(A^TA)}m_k^*(E)\)

Hausdorff测度及其性质

• H测度
• 命题*：n维 \(H_n\) 可测集叉乘0拓展到m维也是 \(H_m\) 可测，且测度值相等
• 定理7（\(H_k\) 测度的性质）：
  • \(H^*_k\) 的所有性质对于 \(H_k\) 仍成立
  • \(\mathcal{B}(\R^n)\subseteq \mathcal{H}_k\)
  • （\(H_k-\)可测集结构）若 \(H_k(E)<+\infty\)，则为Borel集并零测集，或Borel集挖去零测集
• 命题8（\(H_k\) 的平移、伸缩与旋转性）
• 定理9（\(c^1\) 映射下可测集变换）
  • \(c^1\) 映射把零测集映为零测集
  • \(E\) 有有限可测集的可数分解，则 \(c^1\) 映射把 \(E\) 映到可测集
  • \(c^1\) 映射把\(m_k\)可测集映到\(H_k\)可测集
  • \(c^1\) 且处处满秩的映射下，原像是 \(m_k\) 可测集 \(\Leftrightarrow\) 像是 \(H_k\) 可测集
  • 推论（k维Hausdorff测度计算公式）：\(1≤k≤n,A\in \mathcal{M}_{n,k}(\R)\)
    • \(rank(A)<k\ (\det(A^TA)=0)\Rightarrow H_k(A(E))=0,\forall E\subseteq\R^k\)
    • \(rank(A)=k\ (\det(A^TA)>0)\Rightarrow H_k(A(E))=\sqrt{\det(A^TA)}m_k(E)\)

\(§2\) 光滑曲线的长度与曲面的面积

• k维光滑曲面，S的面积
• \(J_{\varphi}(x)=\sqrt{\det((D\varphi)^T(D\varphi)(x))}\)
• 引理1：\(\lim_{x\in Q,\ diam(Q)\rightarrow0} \frac{H_k(\varphi(Q))}{m_k(Q)}=J_{\varphi}(x)\)，其中 \(D\) 开集，\(\varphi\ c^1\) 单射，\(Q\subseteq D\) 闭方体
• 定理2：\(H_k(\varphi(E))=\int_E J(\varphi(x))dx\)，其中 \(D\) 开集，\(\varphi\ c^1\) 单射

\(§3\) Hausdorff测度的积分——曲线曲面积分

• 定理1（平移、伸缩、反射与旋转）
• 定理2+推论3（积分换元）：\(\det(D\varphi(x))\longrightarrow J_{\varphi}(x)\)
• 应用：
  • 光滑曲线的长度
  • 球极投影：\(\varphi:\R^k \longrightarrow \mathbb{S}^k/\{-e_{k+1}\},\ t\mapsto(\frac{2t}{1+|t|^2},\frac{1-|t|^2}{1+|t|^2});\ J_{\varphi}(t)=(\frac{2}{1+|t|^2})^k\)

\(§4\) \(\R^n\) 上的Riemann积分

• 分划，分划集 \(P(E)\)，模长，标志组点，标志组点集合 \(\sigma [P]\)
• Riemann和，Riemann积分，Riemann可积函数类 \(\mathcal{R}(E;\mu)\)

Riemann可积 \(\Rightarrow\) 有界

• 命题1

通过振幅刻画Riemann可积

• 振幅，达布上和，达布下和
• 命题2：达布下和≤达布上和
• 命题3（Riemann可积的振福表示）：\(f\in \mathcal{R}(E;\mu)\ \Leftrightarrow\ \forall \varepsilon>0,\exist \delta>0,\forall |\sigma|<\delta\)，有 \(|\Sigma_{i=1}^Nw(f;E_i)\mu(E_i)|<\varepsilon\)
• 命题4（振幅 \(w(f;x)\) 的Lebesgue可积性）

  这条搞不动啊

• 定理（Riemann可积的Lebesgue准则）：\(E\subseteq \R^n\) 有界可测，\(f:E\rightarrow \R\) 有界，则 \(f\in \mathcal{R}(E;\mu)\Leftrightarrow f\) 在 \(E\) 上 \(\mu-\)几乎处处连续

相对内点，外点，边界点，Jordan可测集

• 相对内点，相对外点，边界点
• Jordan可测集
• 定理5（Riemann积分的基本性质）
  • \(\mathcal{R}(E;\mu)\subset \mathcal{L}^1(E;\mu)\)，且两者积分数值相同
  • 线性空间
  • \(A\subseteq E\)，则 \(1_A\in \mathcal{R}(E;\mu)\Leftrightarrow A\in \mathcal{J}(E)\)
  • 子集上的函数延拓到全集、全集上的函数限制在子集、有限集合上的函数拓展到并集（或反向），如果仍保持Riemann可积性质，需要 \(A\)（子集） \(\in \mathcal{J}(E)\)（全集）

Jordan可测集，Darboux积分与Riemann积分

• Riemann积分——重定义（分划中，\(\forall 1≤j≤i，\mu(\partial E_j)=0\)）
• 定理*：两种定义等价
• 加细
• 命题6：分划和加细分划的达布上和、达布下和不等式
• 命题9：若 \(E\in \mathcal{J}(\R^n)\)，则 \(\int_E f(x)dx=A\Leftrightarrow A=\sup_{\sigma \in P^*(E)}\underline{S}(f;\sigma)=\inf_{\sigma \in P^*(E)}\overline{S}(f;\sigma)\Leftrightarrow \lim_{\sigma \in P^*(E),\ \xi \in \sigma[P]}S(f;\sigma,\xi)=A\)，第一个等价符号是Darboux准则，第二个等价符号是Riemann积分的“网收敛”
• 数论中的应用：
  • 命题：\(a \in \N,\ E\subset[-a,a]^d\) 紧集且 \(m(\partial E)=0\)，则如果 \(f\in c(E,\R)\)，有
    • \(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^d}\Sigma_{j_1=-an+1}^{an}\Sigma_{j_2=-an+1}^{an}...\Sigma_{j_d=-an+1}^{an}1_E(\frac{\vec j}{n})f(\frac{\vec j}{n})=\int_E f(x)dx\)
    • \(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^d}\Sigma_{j_1=-an}^{an}\Sigma_{j_2=-an}^{an}...\Sigma_{j_d=-an}^{an}1_E(\frac{\vec j}{n})f(\frac{\vec j}{n})=\int_E f(x)dx\)
    • 特别地，取 \(f\equiv 1\) 时，\(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^d}\Sigma_{j_1=-an}^{an}\Sigma_{j_2=-an}^{an}...\Sigma_{j_d=-an}^{an}1_E(\frac{\vec j}{n})=m(E)\)

\(§5\) 重积分的应用

Brouwer不动点定理

• Brouwer不动点定理：\(\R^n\) 中的紧凸集上的连续函数必有不动点。

毛绒球定理（球面上非零的连续切向量场的存在性与不存在性）

• 切向量场，连续切向量场，非零连续切向量场
• 命题2：\(\mathbb{S}^{n-1}\subset \Omega\)（开集）\(\subseteq\R^n,\ \vec v\in c^1(\mathbb{S}^{n-1},\R^n)\) 是 \(\mathbb{S}^{n-1}\) 上的单位切向量场，则 \(n-1\) 必为奇数
• 命题3：若 \(n-1\) 为偶数，则 \(\mathbb{S}^{n-1}\) 上没有非零的连续切向量场

Brouwer区域不变定理

• 定理4：\(\Omega\)（开集）\(\subseteq\R^n,\ f:\Omega\rightarrow\R^n\) 为连续映射且局部一一，则 \(f\) 是开映射
• 命题5（非零连续延拓定理）：\(K,Z\subseteq \R^n\) 非空紧集，\(m(Z)=0\)，\(f:K\rightarrow \R^n/\{0\}\)连续，则\(\exist F:K\cup Z\rightarrow\R^n/\{0\}\)，使得 \(F|_k=f\)
• 命题6：\(f:\overline{B(0;r)}\rightarrow\R^n\) 连续且满足 \((f(x),x)≥0,\forall x\in \partial B(0;r)\)，则 \(\exist \xi \in \overline{B(0;r)}\)，使得 \(f(\xi)=0\)
• 命题7：\(f:\overline{B(0;r)}\rightarrow\R^n\) 连续单射，则 \(\exist \delta>0\)，使得 \(B(f(0);\delta)\subset f(\overline{B(0;r)})\)，即 \(f(0)\) 是 \(f(\overline{B(0;r)})\) 的内点

\(Ch.11\) 微分形式与第一型第二型曲线，曲面积分

\(§0.2\) 流形的定义与性质

准备工作

• \(\mathbb{H}^k\)

\(\R^n\) 中的（拓扑）流形/曲面

• 零维曲面/零维流形，k维曲面/k维流形（\(1≤k≤n\)），曲线
• \((S)^\circ\) 内部，\(\partial S\) 边界，无边曲面/流形，带边曲面/流形
• 流形上区域不变定理：\(S\subseteq\R^n\) k维流形，\(D\subseteq\R^k\) 开集，\(f:D\rightarrow S\) 连续单射，则
  • \(f\) 是相对开映射
  • \(f(D)\) 是一个k维流形
  • 若 \(f\) 还满足 \(f:\overline{D}\rightarrow\R^n\) 连续，则 \(f(D)\cap f(\partial D)=\empty\)
• 命题1（\(\partial S\) 的刻画）：
  • \(x_0 \in \partial S \Leftrightarrow \exist V_{x_0}\subseteq\R^n\) 开集以及同胚映射 \(\varphi:\mathbb{H}^k\rightarrow V_{x_0}\cap S\) 使得 \(\varphi^{-1}(x_0)\in \partial \mathbb{H}^k=\{0\}×\R^{k-1}\)
  • \((S)^\circ\) 是 \(S\) 的开集，\(\partial S\) 是 \(S\) 的闭集
  • 若 \(S\) 是 \(\R^n\) 的闭集/紧集，则 \(\partial S\) 也是 \(\R^n\) 的闭集/紧集
• 命题2：\(\varphi:\mathbb{H}^k\rightarrow U\)（k维曲面 \(S\) 的一个开集）同胚，则 \(\varphi\) 将内部映射到内部，且将边界映射到边界
• 命题3：\(S\subseteq \R^n\) 是 k 维带边流形 \(\Rightarrow\ \partial S\) 是 k-1 维无边流形

局部图与图册

• 局部图/局部坐标，参数域，有效域，图册 \(\mathcal{A}(S)\)
• 引理4（可数覆盖）：\(\R^n\) 的开集族 \(\{V_{\nu}\}_{\nu\in P}\) 覆盖了集合 \(E\subseteq \R^n\)，则存在可数集 \(P_0\subseteq P\)，使得 \(\{V_{\nu}\}_{\nu\in P_0}\) 仍然可以覆盖 \(E\)。特别 \(E\) 为紧集时，\(P_0\) 可取为有限集
• 命题5（图册可数化）
• 命题6：\(\R^n\) 中的曲面 \(S\in \mathcal{B}(\R^n)\)
• 命题7：k维流形可表示为可数个互不相交的道路连通k维流形的并

光滑曲面

• 命题8（延拓定理）：\(\varphi \in c^r(\mathbb{H}^k;\R^n)\)，则 \(\exist\tilde{\varphi}\in c^r(\R^k;\R^n)\)，使得 \(\tilde{\varphi}|_{\mathbb{H}^k}=\varphi|_{\mathbb{H}^k}\)，且 \(\partial^\alpha\tilde{\varphi}|_{\mathbb{H}^k}=\partial^\alpha\varphi|_{\mathbb{H}^k},\ \forall|\alpha|≤r\)
• 定理9：\(1≤k≤n,r≥1,D\subseteq \R^k\) 开集，\(\varphi \in c^r(D;\R^n)\) 在 \(t_*\in D\) 处满秩，则 \(\exist \varepsilon >0\)，使得
  • \(\varepsilon\) 附近的一个小方体上，\(\varphi\) 满秩
  • 存在 \(c^r\) 类同胚映射 \(\Phi\)，使得 \(\varphi\) 限制在小方阵上与 \(\Phi\) 限制在小方阵 \(×\{0\}\) 上值相等
• 光滑图册，光滑k维曲面，\(c^r\) 类k维曲面

光滑曲面的性质

• 命题10：\(S\subseteq\R^n\) 是k维光滑曲面，则
  • \(S\) 的内部是 \(\R^k\) 经过同胚映射的集合和 \(\mathbb{H}^k\) 经过同胚映射的集合的内部的并，\(S\) 的边界是 \(\mathbb{H}^k\) 经过同胚映射的集合的边界
  • 若 \(\partial S\not ={0}\)，则它是 k-1 维光滑无边曲面，且当 \(k≥2\) 时，\(\{(\R^{k-1},\tilde{\varphi}_j,\tilde{U}_j)\}_{j\in\tilde{\N}}\) 是 \(\partial S\) 的一个光滑图册，其中 \(\tilde{\varphi}_j(\cdot)=\varphi_j(0,\cdot),\tilde{U}_j=\varphi_j(\partial\mathbb{H}^k)\)

光滑曲面的定向

• 转换映射
• 相容，定向图册，可定向，不可定向
• 基底/标架，有相同的定向/同向，有相反的定向/反向，定向标架类
• 命题11：可定向的道路连通光滑曲面上，任意通过局部图参数化的“标架”同向
  • 可以用作判别曲面的定向
• 定理12：道路连通的可定向曲面恰有两个不同的定向
• 命题13：可定向的带边光滑曲面的边仍可定向
• 命题14：k维光滑曲面的任一非空相对开集也是k维光滑曲面，而且若前者可定向，则后者可定向
• 例子：
  • 一维流形的分类与定向（四种）
  • 将“反向”的两个局部图调整为“同向”的两个局部图
  • 超曲面的定向：道路连通的光滑超曲面可定向，当且仅当其上存在连续单位法向量场
• 定向相反的图册
• 分片光滑的曲面