[题解]Codeforces1152D. Neko and Aki's Prank

不知道为什么又用回了mkd

题目描述

在括号树上找最大匹配

分析

首先最大匹配可以看成：

每次选择一条连接两个没有染过色的点的边，把两个点染色。直到不能再选为止。问最多能选择几条边。

可以发现，括号树的很多子树都是相同的——当左右括号数相同的时候

记\(f[i][j]\)为当前左右括号一共用了\(i\)个，左括号比右括号多了\(j\)个的节点子树的最大匹配数之和。

\(f[i][j]=\left\{\begin{matrix}f[i+1][j+1]+f[i+1][j-1]+1 & col[i+1][j]!=0||col[i+1][j-1]!=0\\ f[i+1][j+1]+f[i+1][j-1]& else \end{matrix}\right.\)

就是说，如果当前点的两个儿子(最多)中至少有一个没有被染色，那么这个节点就可以被选，否则就不行。

这里其实用到了贪心，就是默认选叶子节点，这里有证明，太懒不想写XD

转移的时候还要特判合法

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(X,A,B) for(int X=A;X<=B;X++)
#define tep(X,A,B) for(int X=A;X>=B;X--)
#define LL long long
const int N=2010;
const LL MOD=1e9+7;
using namespace std;

int n,col[N][N];
LL f[N][N];

int main(){
	scanf("%d",&n);
	tep(i,2*n-1,0){
		for(int j=0;i+j<=2*n;j++){
			int flag=1;
			if(j!=0){
				f[i][j]+=f[i+1][j-1];
				f[i][j]%=MOD;
				if(col[i+1][j-1]!=0)flag=0;
			}
			if(i+j<=2*n){
				f[i][j]+=f[i+1][j+1];
				f[i][j]%=MOD;
				if(col[i+1][j+1]!=0)flag=0;
			}
			if(flag)col[i][j]=1,f[i][j]=(f[i][j]+1)%MOD;
		}
	}
	printf("%lld\n",f[0][0]);
	return 0;
}