《算法竞赛入门经典》读书笔记三 之 动态规划与图论

第九章

• 动态规划的基本思路：

1. 找到问题的最优子结构
2. 确定状态
3. 写出状态转移方程。

     注： 如果发现状态无法转移，我们常考虑增加状态的维度。

 使用动态规划的动机： 1. 问题是线性的，容易找到最优子结构。 2. 问题是一个多阶段决策问题。

• 动态规划中解答路径的输出

1. 不记录，求解完所有状态后，通过状态转移方程递推求出每一步的决策。（注意使用记忆化搜索DP时，打印方案也需要使用函数而不是数组）
2. 记录每一步的决策。（LCS问题不好处理）
3. 记录方案，每次更新全局最优解时同步跟新方案。

• 动态规划的递推方向：

1. 向前递推可以边输入边递推。但是较难按字典序输出方案

第十一章

    首先总结一下图论中的一些概念：

    连通： 如果在一个无向图中从每一个顶点到每个其他顶点都存在一条路径，则称该无向图是连通的，具有这样性质的有向图称为是强连通的。如果一个有向图不是强连通的，但是它的基础图，即其边上去掉方向所形成的图，是连通的，那么该有向图称为是弱连通的。

    完全图是其每一对顶点都存在边的图。

    双联通性： 如果一个连通的无向图中的任一顶点删除之后，剩下的图仍然连通，那么这样的无向连通图就称为是双连通的，删除后图不再连通的顶点叫割点。

最小生成树（MST）问题

Kruskal: 每次从剩余边集合中选一个不和现有边构成环最小边(使用并查集)。O(ElogV)

Prim: 从一个顶点出发，从已选点集和未选点各一个作为顶点所构成的边中找一个最小的，然后将该边的未选点集的顶点置入已选点集, O(N^2)。

最短路问题

顺便贴一下ACM中常用的邻接表表示代码（对边进行编号，利用数组建立链表）：

int n, m; // n顶点数， m边数
int first[MAXN];
int u[], v[], w[], next[];
void read_graph()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 0; i < n; i++)first[i] = -1; //初始化表头
    for(int e = 0; e < m; e++)
    {
        scanf("%d%d%d", &u[e], &v[e], &w[e]);
        next[e] = first[u[e]];  //在链表头插入
        first[u[e]] = e;
    }
}

稠密图 : m和n^2一个量级； 稀疏图 m 和 n 一个量级。

• Dijkstra：单源最短路径经典算法，边权值需要全部为正。效率为O(n^2),使用优先队列后为O(mlogn)。Dijkstra算法要求松弛操作具有累积递增性（贪心性质），具体分析下在普通情况下该性质,当前未标记的d[k..s]中的最小一个d[i]是不能再被松弛了，因为其他未标记的d[s]都比他大，若以s为起点进行松弛操作只能使结果比d[s]更大。因此d[i]就已经是最小值，可以将其标记。推广到一般，只要图中松弛操作满足这个性质，就可以使用Dijstra算法思想来解决问题.当图中含有负权时，显然这个性质不能满足，所以算法失效。
• Bellman-Ford算法 ：单源最短路径，允许有负权值边。若存在负环可以通过迭代一定次数后通过收敛性判断进行检测。简单算法效率为O(VE)。其基本思想为：

          如果最短路存在，则每个顶点最多经过一次，因此不超过n-1条边；

          长度为k的路由长度为k-1的路加一条边得到；

          由此我们可以得到只需依次考虑长度最多为1，2，…，k-1的最短路作为最优子结构进行求解。

            使用队列的版本即为SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)算法，时间效率为O(kE), 具体可以参看这篇文章

1. SPFA判断负环的方法，是看是否有点入队次数超过|V|次，其思想为若负环不存在，每个点最多被松弛 |V-1|次，可以参考非队列版本，只有该点在求边长为1,2,3,...,|V|-1的路径时都被松弛了，才可能达到这个极限，因此最多入队|V|-1次，由于原点要多入队一次，因此上限取|V|可行。

• Floyd-Warshall 算法，用于求解任意两点间的最短距离，时间复杂度为O(n^3)，空间复杂度为O(n^2), 也是一个动态规划算法。对稠密图效果比使用n次dijkstra算法效率好。要注意的是在它的三层循环中，K必须在最外层。