Yali7月集训Contest2 T1 Cube 题解
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题目链接：
连我们都只有纸质题目...话说雅礼集训都是这样的吗...
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大意
0维基本图形是一个点
1维基本图形是一条线段
2维基本图形是一个正方形
3维基本图形是一个正方体
4维基本图形是...
求\(n\)维基础图形中有多少个\(m\)维基础图形\((n>=m)\)并对\(998244353\)取模
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分析
手玩样例打表吼啊
当然还是要暗中观察一下啦
线段变成正方形,点数变为原来两边，边数除了变为原来两倍之外还要加上原来点数所对应连起来的边
正方形变正方体也类似
于是我就yy出一个递推式\(num[x][m]=num[x-1][m]*2+num[x-1][m-1]\)
\(num[x][m]\)表示\(x\)维基础图形中含有\(m\)维基础图形的数量
然后我们可以打一张表
然后就有dalao发现了规律（我比较傻考场上都手玩出每一项能整除2的幂都没发现规律）
\(num[n][m]/2^{n-m}=C^n_m\)
然后就ok了
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注意
在订正这道题时发现几个值得注意的地方
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线性求逆元时我原来的方法不行
原来我这么线性求逆元
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inv[i]=(-(p/i)*inv[p%i]%p);
```
结果我发现数字一大就GG了
这是大佬的线性求逆元
```
inv[i]=(ll)(p-(p/i))*inv[p%i]%p;
```
这就很稳了
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一个有趣的性质
逆元的阶乘是原来数字阶乘的逆元
很有趣，好象可证
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代码：
include
include
include
include
include
include
include
define ri register int
define ll long long
using namespace std;
const int maxn=100005;
const int inf=0x7fffffff;
const int p=998244353;
template
x=0;int ne=0;char c;
while(!isdigit(c=getchar()))ne=c'-';
x=c-48;
while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
x=ne?-x:x;
return ;
}
int inv[maxn],twopow[maxn],fac[maxn];
inline void pre(){
inv[0]=inv[1]=1,fac[1]=1,twopow[0]=1,twopow[1]=2;
for(ri i=2;i<=100002;i++){
fac[i]=(ll)fac[i-1]i%p;
inv[i]=(ll)(p-(p/i))inv[p%i]%p;
twopow[i]=(ll)(twopow[i-1]<<1)%p;
//cout<<fac[i]<<' '<<inv[i]<<' '<<twopow[i]<<endl;
}
for(ri i=2;i<=100002;i++){
inv[i]=(ll)inv[i]*inv[i-1]%p;//比较神奇,逆元的阶乘是原来数的阶乘的逆元
}
return ;
}
int t;
inline int solve(int m,int n){
if(m0)return twopow[n];
if(n==m)return 1;
return (ll)fac[n]inv[n-m]%ptwopow[n-m]%p*inv[m]%p;
}
int main(){
int n,m;
read(t);
pre();
while(t--){
read(n),read(m);
printf("%d\n",solve(m,n));
}
return 0;
}
```
