数学知识小结#1
PREFACE
时隔数月尝试拾起以往的OI知识发现异常的艰难,于是准备慢慢的填坑,可能比较简略并且穿插不少英文(万一面试的时候问起OI还能说几句pao),但是我英语太菜了，如果您发现了错误或是需要改进的地方，欢迎联系我或是在下方评论
小结#1主要是数论部分，小结#2到时看情况在更吧
update:里面的除法都是指下取整
质数与约数Prime Number&Divisors
质数筛法Sieve
-
埃拉托斯特尼筛法Sieve of Eratosthenes
主要思想是任意整数x的倍数2x,3x...都不是质数
由于在筛x的倍数时,小于\(x^2\)的数已经被筛过(显然),我们直接从\(x^2\)开始筛void EratosthenesSieve(int n){ memset(vis,0,sizeof(vis)); for(int i=2;i<=n;i++){ if(vis[i])continue; for(int j=i*i;j<=n;j+=i)vis[j]=1; } } -
欧拉线性筛Euler's Linear Sieve
埃式筛在筛一些数时还是会重复(比如12会被2和3同时筛一遍)，但是只要我们让我们要筛的数的质因子从小到大累计，即每个数只会被它的最小质因子筛一次，这样的话每个数只会被筛一次，复杂度就是线性的了
void EulerSieve(int n){ memset(vis,0,sizeof(vis)); memset(prime,0,sizeof(prime)); cnt=0; for(ri i=2;i<=n;i++){ if(vis[i]==0){//i is a prime number prime[++cnt]=i; } for(ri j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=n;j++){ vis[i*prime[j]]=1; if(i%prime[j]==0)break;//now i can be divided by prime[j],so prime[j+1] is not the least prime divisor of the i*prime[j+1] } } }
质因数分解Prime Factorization
-
算术基本定理Fundamental Theorem Of Arithmetic
也称为唯一分解定理(unique factorization theorem),是指任何一个大于1的正整数都能被唯一分解为有限个质数的乘积,可写作
\[N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m} \]其中\(p_i\)是质数且\(p_1<p_2<...<p_m\)
Every positive integer n>1 can be represented in exactly one way as a product of prime powers
\[N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m} \]where \(p_1<p_2<...<p_m\) are primes and the \(n_i\) are positive intergers.
(来源: 维基百科)
最大公约数Greatest Common Divisors
-
定义:
根据字面意思,自然数\(a\)和\(b\)的公约数中最大的d就是a和b的最大公约数,称为\(gcd(a,b)\)
-
定理:
\(gcd(a,b)\)*\(lcm(a,b)=a\)*$b $
-
更相减损法
\(\forall a>b,a,b \in N\) \(gcd(a,b)=gcd(a,a-b)=gcd(b,a-b)\)
-
辗转相除法
\(\forall a,b \in N\) \(gcd(a,b)=gcd(b,a \mod b)\)
积性函数相关Multiplicative Funtion
-
积性函数定义:
若对任意互质\(a,b\)(即\(gcd(a,b)=1\)),有\(f(ab)=f(a)f(b)\),则称函数\(f\)为积性函数
特殊地,若对任意正整数都有\(f(ab)=f(a)\) * \(f(b)\),则称函数\(f\)为完全积性函数(Completely Multiplicative Function)
显然若\(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m}\),则\(f(N)= \prod_{i=1}^m f(p_i^{c_i})\)
于是求一个积性函数我们可以设法套用筛法求出
-
欧拉函数(Euler Tocient Funciton)定义:
在\(1\)到\(N\)中与\(N\)互质的数的个数称为欧拉函数,记作\(\phi(N)\)
若\(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m}\)
则\(\phi(N)=N\)*\(\frac{p_1-1}{p_1}\)*\(\frac{p_2-1}{p_2}\)*\(...\)*$ \frac{p_m-1}{p_m}$
这个式子可以由容斥原理(The Principle Of Inclusion-exclusion)推得
-
欧拉函数性质
-
对于一个质数N,\(\phi(N)=N-1\)
-
对于\(N=p^k\)(\(p\)是质数),\(\phi(N)=p^k-p^{k-1}\)
简要证明:此时只有\(p,2p,3p...\)等\(p^{k-1}\)个数与\(N\)不互质
-
\(\sum_{d|n} \phi(d)=n\)
简要证明:设\(f(n)=\sum_{d|n} \phi(d)\)，发现它是个积性函数
又因为\(f(p_i^{c_i})=\phi (1) + \phi (p)+...+\phi (p_i^{c_i})\)根据上一条性质,就等于\(p_i^{c_i}\)
于是\(f(n)= \prod_{d|n} f(p_i^{c_i}) = \prod p_i^{c_i} =n\)
-
\(\phi(n)=\sum_{d|n} \mu(d) \frac{n}{d}\)
简要证明: 莫比乌斯反演,见下
-
-
莫比乌斯函数(Mobious Function)定义
设正整数\(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m}\)
定义函数
$\mu(n)= \begin{cases} (-1)^m & \text{when \(c_1=c_2=…=c_m=1\),}\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$为莫比乌斯函数
它有个比较有用的性质
\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\)
它也是积性函数,于是我们可以运用欧拉线性筛求出\(1-N\)的莫比乌斯函数
void Mobious(int n){ memset(vis,0,sizeof(vis)); mu[1]=1; for(ri i=2;i<=n;i++){ if(vis[i]==0){//prime number mu[i]=-1; prime[++cnt]=i; } for(ri j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=n;j++){ vis[prime[j]*i]=1; if(i%prime[j]==0){ mu[i*prime[j]]=0;//c_i !=1 break; } mu[i*pri[j]]=-mu[i]; } } } -
数论函数(Arithmetic Funtion)
似乎也可以说Number Theoretic Function,是指定义域为正整数的函数
A number theoretic funtion is a function whose domain is the set of positive integers
-
莫比乌斯反演公式(Mobius Inversion Formula)
对于两个数论函数\(F(n)\)和\(f(n)\),且满足
\(F(n)=\sum_{d|n} f(d)\)
那么\(f(n) = \sum_{d|n} \mu(d) F(\frac{n}{d})\)
简要证明:
\(\sum_{d|n} \mu(d) F(\frac{n}{d})=\sum_{d|n} \mu(d) \sum_{i|{\frac{n}{d}}} f(i)\)
对于第二个式子,我们考虑每个\(f(i)\)对几个\(\mu(d)\)作贡献,发现等价于
\(\sum_{i|n} f(i) \sum_{d|{\frac{n}{i}}} \mu(d)\)
再由\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\),得只有i=n时后面的sigma不是0,也就是等于\(f(n)\)
现在让我们证明前文提到的这个式子\(\phi(n)=\sum_{d|n} \mu(d) \frac{n}{d}\)
先引入一个\(id\)函数,\(id(n)=n\)
\(\because id(n) = n = \sum_{d|n} \phi(d)\)
\(\therefore \phi(d) = \sum_{d|n} \mu(d) id(\frac{n}{d}) = \sum_{d|n} \mu(d) \frac{n}{d}\)
-
狄利克雷卷积(Dirichlet Convolution)
两个数论函数f和g的卷积为\((f ∗ g)(n)=\sum_{d|n} f(d)g(\frac{n}{d})\) ,后面的括号可以省略不写
满足交换律,结合律,分配律
两个积性函数的卷积依然为积性函数
前面的莫比乌斯反演也可以通过狄利克雷卷积证明
同余Modular Arithmetic
定义
若整数\(a\)与\(b\)除以正整数n的余数相等,则称\(a,b\)模\(n\)同余,记为\(a \equiv b \pmod n\)
"For a positive integer n, two numbers a and b are said to be congruent modulo n, if their difference a-b is an integer multiple of n(that is , if there is an integer \(k\) such that a-b = kn),and is denoted \(a \equiv b \pmod (n)\).
The number n is called the modulus of the congruence."
来源:维基百科
费马小定理Fermat's Little Theorem
若\(p\)是质数,则对任意正整数\(a\),有\(a^p \equiv a \pmod p\)
